Um carrinho de montanha-russa movimenta-se a 200 pés horizontalmente e sobe 135 pés em um ângulo de 30º acima da horizontal. Depois, viaja 135 pés em um ângulo de 40º para baixo. Q... Um carrinho de montanha-russa movimenta-se a 200 pés horizontalmente e sobe 135 pés em um ângulo de 30º acima da horizontal. Depois, viaja 135 pés em um ângulo de 40º para baixo. Qual é o seu deslocamento desde o ponto de partida?
Understand the Problem
A questão pede para calcular o deslocamento total de um carrinho de montanha-russa que se move em diferentes direções e ângulos. Precisamos usar trigonometria para determinar a posição final em relação ao ponto de partida.
Answer
O deslocamento total é aproximadamente $200,93$ pés.
Answer for screen readers
O deslocamento total do carrinho desde o ponto de partida é aproximadamente $200,93$ pés.
Steps to Solve
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Movimento horizontal O carrinho se move 200 pés na horizontal. Portanto, a mudança na posição horizontal é: $$ x = 200 \text{ pés} $$
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Movimento vertical ao subir O carrinho sobe 135 pés em um ângulo de 30º. Para calcular a mudança na posição vertical, usamos a função seno: $$ y_1 = 135 \cdot \sin(30º) $$ Substituindo o valor: $$ y_1 = 135 \cdot 0,5 = 67,5 \text{ pés} $$
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Movimento vertical ao descer Depois, o carrinho viaja 135 pés em um ângulo de 40º para baixo. A mudança na posição vertical será negativa, então: $$ y_2 = -135 \cdot \sin(40º) $$ Substituindo o valor: $$ y_2 = -135 \cdot 0,6428 \approx -86,8 \text{ pés} $$
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Total de deslocamento vertical Agora, somamos as mudanças na posição vertical: $$ y_{total} = y_1 + y_2 $$ $$ y_{total} = 67,5 - 86,8 = -19,3 \text{ pés} $$
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Cálculo do deslocamento total Para encontrar o deslocamento total em relação ao ponto de partida, usamos o teorema de Pitágoras. O deslocamento total pode ser calculado como: $$ D = \sqrt{x^2 + y_{total}^2} $$ Substituindo os valores: $$ D = \sqrt{200^2 + (-19,3)^2} $$
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Cálculo final Calculando: $$ D = \sqrt{40000 + 372,49} $$ $$ D \approx \sqrt{40372,49} \approx 200,93 \text{ pés} $$
O deslocamento total do carrinho desde o ponto de partida é aproximadamente $200,93$ pés.
More Information
O deslocamento é a distância reta entre o ponto inicial e o ponto final, e não inclui a distância percorrida. A abordagem usou trigonometria para determinar componentes de movimento e o teorema de Pitágoras para calcular o deslocamento total.
Tips
- Erros ao calcular as funções seno: Verificar a calculadora se está em graus e não em radianos.
- Negligenciar a direção vertical: Lembre-se de considerar a mudança para baixo como negativa.
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