ظرفی شامل سه مهره سفید و یک مهره سیاه است. از این طرف ابتدا یک مهره بیرون می‌آوریم، اگر این مهره سفید باشد، دو مهره دیگر را به تصادف و بدون جای‌گذاری از ظرف خارج می‌کنیم. Y را به ت... ظرفی شامل سه مهره سفید و یک مهره سیاه است. از این طرف ابتدا یک مهره بیرون می‌آوریم، اگر این مهره سفید باشد، دو مهره دیگر را به تصادف و بدون جای‌گذاری از ظرف خارج می‌کنیم. Y را به ترتیبی، متغیرهای تصادفی X و Y را نظر می‌گیریم. احتمال P(X ≥ Y) کدام است؟ Read more

Steps to Solve

1. محاسبه حالت‌ها

ابتدا احتمال‌های مرتبط با وضعیت‌ها را بررسی می‌کنیم. در ظرف ۳ مهره سفید و ۱ مهره سیاه وجود دارد.

2. احتمال کشیدن مهره‌های سفید

اگر اولین مهره کشیده‌شده سفید باشد، این احتمال برابر با $\frac{3}{4}$ است. بعد از آن دو مهره دیگر به‌تصادف و بدون جای‌گذاری از ظرف خارج می‌شوند.

3. احتمال کشیدن مهره‌های دیگر

پس از کشیدن یک مهره سفید، دو مهره دیگر به ترتیب به شرح زیر کشیده می‌شود:

• اگر یکی دیگر از مهره‌ها سیاه باشد، احتمال آن برابر با $\frac{1}{3}$ است به دلیل باقی‌ماندن ۱ سیاه از ۳.
• اگر هر دو سفید باشند، احتمال آن برابر با $\frac{2}{3}$ است.

4. تعیین متغیرهای تصادفی X و Y

با توجه به نتیجه کشیدن مهره‌ها، ارزش متغیر تصادفی X (تعداد مهره‌های سفید) و Y (تعداد مهره‌های سیاه) مشخص می‌شود.

5. محاسبه احتمال P(X ≥ Y)

حال می‌خواهیم احتمال $P(X ≥ Y)$ را محاسبه کنیم. اگر اولین مهره سفید باشد، حداکثر X می‌تواند ۲ و حداقل Y می‌تواند ۰ باشد. بنابراین در این حالت، احتمال $P(X \geq Y)$ برابر با ۱ است.