Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari x² + 7x + 12 ≥ 0

Steps to Solve

1. Identifikasi bentuk pertidaksamaan Kita punya pertidaksamaan kuadrat: $$ x^2 + 7x + 12 \geq 0 $$

2. Mencari akar-akar persamaan kuadrat Kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat persamaan: $$ x^2 + 7x + 12 = 0 $$

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Dengan $a = 1$, $b = 7$, dan $c = 12$.

3. Hitung nilai diskriminan Diskriminan $D = b^2 - 4ac$: $$ D = 7^2 - 4 \times 1 \times 12 $$ $$ D = 49 - 48 = 1 $$

4. Hitung akar-akar x Karena $D > 0$, kita memiliki dua akar yang berbeda: $$ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{-7 + 1}{2} = -3 $$ $$ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{-7 - 1}{2} = -4 $$

5. Membagi rentang dan analisis tanda Kita punya akar $x = -3$ dan $x = -4$. Kita perlu memeriksa tanda dari $x^2 + 7x + 12$ di interval:

• $(-\infty, -4)$
• $(-4, -3)$
• $(-3, \infty)$

6. Uji tanda di tiap interval

• Untuk interval $(-\infty, -4)$, pilih $x = -5$: $$ (-5)^2 + 7(-5) + 12 = 25 - 35 + 12 = 2 \geq 0 $$
• Untuk interval $(-4, -3)$, pilih $x = -3.5$: $$ (-3.5)^2 + 7(-3.5) + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 < 0 $$
• Untuk interval $(-3, \infty)$, pilih $x = 0$: $$ 0^2 + 7(0) + 12 = 12 \geq 0 $$

7. Menentukan himpunan penyelesaian Dengan analisis di atas, kita memiliki dua interval yang memenuhi pertidaksamaan: $(-\infty, -4]$ dan $[-3, \infty)$.