تابع چگالی توام دو متغیر X و Y به صورت زیر است: f(x, y) = 24xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ 1. P(X + Y ≥ 0.6) محاسبه احتمال آنکه تابع چگالی توام دو متغیر X و Y به صورت زیر است: f(x, y) = 24xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ 1. P(X + Y ≥ 0.6) محاسبه احتمال آنکه Read more

Steps to Solve

1. تعریف ناحیه محاسبه تحقیق توزیع احتمال دو متغیر $X$ و $Y$ به صورت مثلثی بین نقاط $(0,0)$، $(1,0)$ و $(0,1)$ است. برای یافتن ناحیه‌ای که در آن $X + Y \geq 0.6$، ابتدا باید معادله $X + Y = 0.6$ را رسم کنیم.

2. رسم ناحیه محدودیت ناحیه‌ی محدودیت را که شامل $X + Y \geq 0.6$ است مشخص می‌کنیم. نقاطی که این شرط را برآورده می‌کنند در ناحیه‌ای بالای خط $X + Y = 0.6$ قرار دارند.

3. محاسبه احتمال با استفاده از انتگرال دوگانه برای محاسبه‌ی احتمال مورد نظر $P(X + Y \geq 0.6)$، ابتدا محدوده ناحیه محاسبه را باید شناسایی کنیم. حدود در اینجا به صورت زیر است:

• $x$ از $0.6$ تا $1$
• $y$ از $0$ تا $1 - x$

اینجا انتگرال دوگانه برای محاسبه احتمال به صورت زیر است:

$$ P(X + Y \geq 0.6) = \int_{0.6}^{1} \int_{0}^{1-x} 24xy , dy , dx $$

4. محاسبه انتگرال داخلی برای محاسبه انتگرال داخلی، ابتدا تابع را نسبت به $y$ یک یک بار انتگرال می‌گیریم:

$$ \int_{0}^{1-x} 24xy , dy = 24x \cdot \frac{(1-x)^2}{2} = 12x(1-x)^2 $$

5. محاسبه انتگرال خارجی حال نوبت به انتگرال خارجی می‌رسد:

$$ P(X + Y \geq 0.6) = \int_{0.6}^{1} 12x(1 - x)^2 , dx $$

محاسبه این انتگرال می‌دهد:

$$ = 12 \int_{0.6}^{1} x(1 - 2x + x^2) , dx $$

6. محاسبه انتگرال نهایی پس از محاسبه، می‌توانیم مقدار نهایی را به دست آوریم.