Stellen Sie fest, welche der Zahlenfolgen konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert: a) 1 + (-1)^n b) (4n^4 - 16) / ((n + 2)^2 * (-5n^2)) Bestimmen Sie: a) ∑(i=1,... Stellen Sie fest, welche der Zahlenfolgen konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert: a) 1 + (-1)^n b) (4n^4 - 16) / ((n + 2)^2 * (-5n^2)) Bestimmen Sie: a) ∑(i=1, ∞) 5(1/3)^(i-1) b) ∑(i=1, ∞) (6/4)^(i-1) c) ∑(i=1, ∞) 12(1/4)^(i) d) ∑(i=1, ∞) (1/4)^(i) e) ∑(i=3, ∞) 20(1/5)^(i-1) f) ∑(i=1, ∞) (1/2)^(i) g) ∑(i=2, ∞) (1/3)^(i-2)
Understand the Problem
Die Fragen fordern dazu auf, zu bestimmen, welche der gegebenen Folgen konvergieren und gegebenenfalls ihre Grenzwerte zu finden. Es gibt eine Reihe von mathematischen Ausdrücken, die analysiert werden müssen.
Answer
Die Grenzwerte sind: a) nicht konvergent, b) $-\frac{4}{5}$, a) $7.5$, b) $1$, c) $16$, d) $\frac{1}{3}$, e) $25$, f) $1$, g) $1.5$.
Answer for screen readers
Die Grenzwerte sind:
a) nicht konvergent
b) $-\frac{4}{5}$
10.
a) $7.5$
b) $1$
c) $16$
d) $\frac{1}{3}$
e) $25$
f) $1$
g) $1.5$
Steps to Solve
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Untersuchen der ersten Folge
Die erste Folge ist $1 + (-1)^n$.
Für $n$ gerade: $(-1)^n = 1 \Rightarrow 1 + 1 = 2$.
Für $n$ ungerade: $(-1)^n = -1 \Rightarrow 1 - 1 = 0$.
Die Folge oszilliert zwischen 0 und 2 und konvergiert nicht. -
Untersuchen der zweiten Folge
Die zweite Folge ist gegeben durch $\frac{4n^4 - 16}{(n+2)^2(-5n^2)}$.
Zunächst vereinfachen:
Der höchste Ausdruck im Zähler ist $4n^4$ und im Nenner $-5n^2(n+2)^2$.
Bedeutet:
$$\frac{4n^4}{-5n^2 \cdot (n^2 + 4n + 4)} = \frac{4n^4}{-5n^4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}} \approx \frac{-4}{5} \text{ für } n \to \infty$$
Die Folge konvergiert zu $-\frac{4}{5}$. -
Untersuchen der unendlichen Summen
Für die Summen in Teil 10 (a bis g) betrachten wir den allgemeineren Ansatz für die Konvergenz:
Sei $S = \sum_{i=1}^{\infty} a_i$.
Wenn $|a_i| \to 0$ und $a_i$ ist monoton fallend, dann konvergiert $S$. -
Konvergenz der Summen (a-g)
a) $\sum_{i=1}^{\infty} 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{i-1}$ ist eine geometrische Reihe mit $r = \frac{1}{3}$, konvergiert zu $S = \frac{5}{1 - \frac{1}{3}} = 7.5$.
b) $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{6}{4} \left( \frac{1}{4} \right)^i$ = $\frac{3}{2} \cdot \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$.
c) $\sum_{i=1}^{\infty} 12 \left( \frac{1}{4} \right)^i$ konvergiert ebenfalls zu $S = \frac{12}{1 - \frac{1}{4}} = 16$.
d) $\sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right)^i$ liefert $S = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$.
e) Bei $ \sum_{i=3}^{\infty} 20 \left( \frac{1}{5} \right)^{i-1}$ bedeutet die Verschiebung der Indizes, dass wir zuerst 0 addieren und dann $S = \frac{20}{1 - \frac{1}{5}} = 25$.
f) $ \sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^i = 1$.
g) $ \sum_{i=2}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{i-2}$ = $ \sum_{j=0}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{j} = 1.5$.
Die Grenzwerte sind:
a) nicht konvergent
b) $-\frac{4}{5}$
10.
a) $7.5$
b) $1$
c) $16$
d) $\frac{1}{3}$
e) $25$
f) $1$
g) $1.5$
More Information
Die Folgen und Summen in diesem Problem beinhalten eine Kombination aus oszillierenden sowie konvergierenden Fällen. Die Analyse von Grenzwerten ist entscheidend für das Verständnis der Konvergenz.
Tips
- Die oszillierende Natur der ersten Folge nicht zu erkennen.
- Den Grenzwert des Bruchs in der zweiten Folge nicht korrekt zu bestimmen.
- Die Bedingungen für die Konvergenz der geometrischen Reihen nicht zu überprüfen.
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