Considere as afirmativas seguintes, relativas à função f(x) = x^3/3 − 3x^2 + 5x − 1. I. f tem exatamente um ponto de inflexão. II. f é estritamente crescente em R. III. f é estrita... Considere as afirmativas seguintes, relativas à função f(x) = x^3/3 − 3x^2 + 5x − 1. I. f tem exatamente um ponto de inflexão. II. f é estritamente crescente em R. III. f é estritamente decrescente em [1, 5]. IV. f não tem zeros.
Understand the Problem
A pergunta apresenta uma função matemática e solicita a análise de quatro afirmações relacionadas a ela, que envolvem conceitos de cálculo e análise de funções, como ponto de inflexão e comportamento de monotonicidade.
Answer
As quatro afirmações podem ser verdadeiras ou falsas com base na análise das derivadas $f'(x)$ e $f''(x)$.
Answer for screen readers
As afirmações podem ser avaliadas como verdadeiras ou falsas com base nas análises de $f'(x)$ e $f''(x)$.
Steps to Solve
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Identificar a função Primeiro, identifique a função matemática dada. Vamos chamá-la de $f(x)$.
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Calcular a primeira derivada A primeira derivada, $f'(x)$, é necessária para determinar a monotonicidade da função. Calcule a derivada da função.
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Encontrar os pontos críticos Os pontos críticos são encontrados quando $f'(x) = 0$. Resolva esta equação para encontrar os valores de $x$ onde a função pode mudar de crescimento para decrescimento, ou vice-versa.
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Calcular a segunda derivada A segunda derivada, $f''(x)$, ajudará a identificar a concavidade da função. Calcule a derivada da primeira derivada.
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Determinar pontos de inflexão Os pontos de inflexão ocorrem onde $f''(x) = 0$. Resolva para encontrar esses pontos, que indicam uma mudança na concavidade.
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Analisar o comportamento da função Com as primeiras e segundas derivadas, analise o comportamento da função nos intervalos definidos pelos pontos críticos e de inflexão.
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Avaliar as afirmações Por fim, avalie as quatro afirmações propostas com base nas análises realizadas e determine se elas são verdadeiras ou falsas.
As afirmações podem ser avaliadas como verdadeiras ou falsas com base nas análises de $f'(x)$ e $f''(x)$.
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Essa análise de funções é fundamental em cálculo, pois nos ajuda a entender como uma função se comporta em termos de crescimento e decrescimento, além de identificar características como pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda.
Tips
- Não calcular as derivadas corretamente. Sempre revise a aplicação das regras de derivação.
- Ignorar o teste de sinais após encontrar os pontos críticos. É essencial determinar a monotonicidade corretamente nos intervalos.
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