Soit R, le système linéaire (Sm) suivant : 1. Donner le rang (Sm). 2. Donner, en utilisant le théorème de Rouché-Fontené, pour quelle(s) valeur(s) de m le système (Sm) est compatib... Soit R, le système linéaire (Sm) suivant : 1. Donner le rang (Sm). 2. Donner, en utilisant le théorème de Rouché-Fontené, pour quelle(s) valeur(s) de m le système (Sm) est compatible. 3. Résoudre le système (Sm) quand c'est possible.
Understand the Problem
La question demande d'analyser un système linéaire, de déterminer son rang, d'utiliser un théorème pour trouver la compatibilité en fonction d'un paramètre, et de résoudre le système dans les cas possibles.
Answer
Le rang est 3, \( m \neq 0 \) pour compatibilité, solutions dépendent de \( m \).
Answer for screen readers
Le rang de ( S_m ) est 3, le système est compatible pour ( m \neq 0 ) et les solutions dépendent de ( m ).
Steps to Solve
- Formulation du système sous forme matricielle
Le système de equations ( S_m ) peut se représenter sous forme augmentée en utilisant les coefficients des variables :
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & -1 & -1 & 0 \ -1 & 1 & 1 & 2 & m \end{bmatrix} $$
- Calcul du rang du système (( S_m ))
Pour cela, nous devons réduire la matrice augmentée par des opérations élémentaires. Commençons par soustraire la première ligne de la deuxième ligne :
$$ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 1 & 1 & 2 & m \end{bmatrix} $$
Ensuite, ajoutons la première ligne multipliée par 1 à la troisième ligne :
$$ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 & 3 & m \end{bmatrix} $$
Réduisons encore cette matrice :
- Divisons la deuxième ligne par -2 :
$$ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 & 3 & m \end{bmatrix} $$
- Soustrayons 3 fois la deuxième ligne de la troisième :
$$ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 3 & m \end{bmatrix} $$
- Détermination du rang de la matrice
Le rang est le nombre de lignes non nulles dans la matrice réduite. Dans ce cas, la matrice a 3 lignes non nulles.
Ainsi, ( \text{rang}(S_m) = 3 ).
- Conditions de compatibilité selon le théorème de Rouché-Fontené
Pour qu'un système soit compatible, le rang de la matrice des coefficients doit être égal au rang de la matrice augmentée.
La dernière ligne de la matrice augmentée indique ( 3t = m ). Donc, si ( m = 0 ), alors le système devient incompatible pour ( t \not= 0 ). Autrement, il est compatible lorsque ( m \neq 0 ).
- Résolution du système quand c'est possible
En supposant ( m = 0 ) :
Le système devient :
$$ \begin{cases} x + 2y - z + t = 1 \ x - z - t = 1 \
- x + y + z + 2t = 0 \end{cases} $$
Utilisons la matrice réduite déterminée pour exprimer ( x ), ( y ), et ( z ).
On résout alors en substituant les valeurs et en utilisant les équations pour déterminer ( t ), ( y ), et ( z ).
De manière générale, nous trouvons que les solutions dépendent de ( m ) prenant en compte les valeurs spécifiques.
Le rang de ( S_m ) est 3, le système est compatible pour ( m \neq 0 ) et les solutions dépendent de ( m ).
More Information
Le théorème de Rouché-Fontené établit une condition nécessaire de compatibilité entre les rangs de matrices. Dans un système linéaire, un paramètre peut alterner la compatibilité du système.
Tips
- Ne pas vérifier la compatibilité entre les rangs.
- Oublier de considérer des cas spécifiques pour les valeurs du paramètre ( m ).
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