Soit n ∈ IN*. 1) Montrer en raisonnant par récurrence que, (∑_{k=0}^{n} k = n(n + 1)/2). 2) Calculer la somme S1 = ∑_{k=0}^{n} ((k + 1)³ - k³). 3) Déduire alors la somme S2 = ∑_{k=... Soit n ∈ IN*. 1) Montrer en raisonnant par récurrence que, (∑_{k=0}^{n} k = n(n + 1)/2). 2) Calculer la somme S1 = ∑_{k=0}^{n} ((k + 1)³ - k³). 3) Déduire alors la somme S2 = ∑_{k=0}^{n} k². 4) Déduire la somme S3 = ∑_{k=0}^{n} k(k + 1). Read more

Steps to Solve

1. Montrer la formule par récurrence

Pour montrer que $$\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$$ par récurrence, procédons ainsi :

• Cas de base : Pour $n = 0$, on a : $$\sum_{k=0}^{0} k = 0$$ et $$\frac{0(0 + 1)}{2} = 0$$, donc cela est vrai.

• Hypothèse de récurrence : Supposons que la formule est vraie pour un entier $n$, c’est-à-dire : $$\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$$.

• Étape de récurrence : Montrons qu'elle est vraie pour $n + 1$ : $$\sum_{k=0}^{n + 1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n + 1)$$ En utilisant l'hypothèse de récurrence : $$\sum_{k=0}^{n + 1} k = \frac{n(n + 1)}{2} + (n + 1)$$ $$= \frac{n(n + 1) + 2(n + 1)}{2}$$ $$= \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$$ Ce qui complète la preuve.

2. Calculer la somme $S_1$

La somme est donnée par : $$S_1 = \sum_{k=0}^{n} ((k + 1)^3 - k^3)$$

Simplifions : $$S_1 = \sum_{k=0}^{n} (3k^2 + 3k + 1)$$ Nous pouvons séparer cette somme : $$S_1 = 3\sum_{k=0}^{n} k^2 + 3\sum_{k=0}^{n} k + \sum_{k=0}^{n} 1$$

Utilisant les formules de sommes connues :

• $$\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$$
• $$\sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1$$
• $$\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

Ainsi : $$S_1 = 3 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} + (n + 1)$$

3. Déduire la somme $S_2$

On sait que : $$S_1 = (n + 1)^3$$ ce qui signifie que pour la somme des cubes : $$ \sum_{k=0}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2$$ Et nous avons : $$S_2 = \sum_{k=0}^{n} k^2 = S_1 - \sum_{k=0}^{n} k = S_1 - \frac{n(n + 1)}{2}$$

4. Déduire la somme $S_3$

Il faut calculer : $$S_3 = \sum_{k=0}^{n} k(k + 1) = \sum_{k=0}^{n} (k^2 + k)$$ Cette somme peut être séparée : $$ = \sum_{k=0}^{n} k^2 + \sum_{k=0}^{n} k$$

En utilisant les formules précédentes : $$S_3 = S_2 + \frac{n(n + 1)}{2}$$