Soit C1 l'arc de cercle représenté ci-contre et soit C2 le segment reliant les points (1,0) et (4,2). Donner deux paramétrisations pour chacune des courbes. Calculer les vecteurs t... Soit C1 l'arc de cercle représenté ci-contre et soit C2 le segment reliant les points (1,0) et (4,2). Donner deux paramétrisations pour chacune des courbes. Calculer les vecteurs tangents respectifs.
Understand the Problem
La question demande de donner deux paramétrisations pour deux courbes (une arc de cercle et une droite) et de calculer les vecteurs tangents respectifs à ces courbes.
Answer
Les paramétrisations sont données par : C1: $$ \begin{cases} x(t) = 1 + \cos(t) \\ y(t) = 1 + \sin(t) \end{cases} $$ et $$ \begin{cases} x(u) = u \\ y(u) = \sqrt{1 - (u - 1)^2} + 1 \end{cases} $$ C2: $$ \begin{cases} x(s) = 1 + 3s \\ y(s) = 2s \end{cases} $$ et $$ \begin{cases} x(v) = 1 + 3v \\ y(v) = 2v \end{cases} $$ Les vecteurs tangents pour C1 sont $T(t) = \left(-\sin(t), \cos(t)\right)$ et $T(u) = \left(1, \frac{-(u - 1)}{\sqrt{1 - (u - 1)^2}}\right)$; pour C2, ils sont $T(s) = (3, 2)$ et $T(v) = (3, 2)$.
Answer for screen readers
Les deux paramétrisations des courbes sont :
Pour C1 (arc de cercle) :
$$ \begin{cases} x(t) = 1 + \cos(t) \ y(t) = 1 + \sin(t) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x(u) = u \ y(u) = \sqrt{1 - (u - 1)^2} + 1 \end{cases} $$
Pour C2 (segment de droite) :
$$ \begin{cases} x(s) = 1 + 3s \ y(s) = 2s \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x(v) = 1 + 3v \ y(v) = 2v \end{cases} $$
Les vecteurs tangents sont :
Pour C1 :
- $T(t) = \left(-\sin(t), \cos(t)\right)$
- $T(u) = \left(1, \frac{-(u - 1)}{\sqrt{1 - (u - 1)^2}}\right)$
Pour C2 :
- $T(s) = (3, 2)$
- $T(v) = (3, 2)$
Steps to Solve
- Paramétrisation de l'arc de cercle C1
Pour l'arc de cercle, nous allons utiliser les coordonnées polaires. Si on suppose que l'arc de cercle a un centre en $(1,1)$ et un rayon de $1$, une première paramétrisation est donnée par :
$$ \begin{cases} x(t) = 1 + \cos(t) \ y(t) = 1 + \sin(t) \end{cases} $$ pour $t$ variant de $0$ à $\frac{\pi}{2}$.
Une deuxième paramétrisation peut être donnée par :
$$ \begin{cases} x(u) = u \ y(u) = \sqrt{1 - (u - 1)^2} + 1 \end{cases} $$ pour $u$ allant de $1$ à $2$.
- Paramétrisation du segment de droite C2
Pour la droite reliant les points $(1,0)$ et $(4,2)$, nous pouvons utiliser :
$$ \begin{cases} x(s) = 1 + 3s \ y(s) = 0 + 2s \end{cases} $$ où $s$ varie de $0$ à $1$.
Une autre possibilité de paramétrisation est :
$$ \begin{cases} x(v) = 1 + 3v \ y(v) = 2v \end{cases} $$ pour $v$ allant de $0$ à $1$.
- Calcul des vecteurs tangents pour C1
Pour le premier paramétrage de C1, nous pouvons dériver par rapport à $t$ :
$$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = -\sin(t) \ \frac{dy}{dt} = \cos(t) \end{cases} $$ Le vecteur tangent est donc donné par :
$$ T(t) = \left(-\sin(t), \cos(t)\right) $$
Pour le deuxième paramétrage, la dérivée devient :
$$ \begin{cases} \frac{dx}{du} = 1 \ \frac{dy}{du} = \frac{-(u - 1)}{\sqrt{1 - (u - 1)^2}} \end{cases} $$
Le vecteur tangent est alors :
$$ T(u) = \left(1, \frac{-(u - 1)}{\sqrt{1 - (u - 1)^2}}\right) $$
- Calcul des vecteurs tangents pour C2
Pour le premier paramétrage de C2 :
$$ \begin{cases} \frac{dx}{ds} = 3 \ \frac{dy}{ds} = 2 \end{cases} $$
Le vecteur tangent est :
$$ T(s) = (3, 2) $$
Pour le deuxième paramétrage :
$$ \begin{cases} \frac{dx}{dv} = 3 \ \frac{dy}{dv} = 2 \end{cases} $$
Le vecteur tangent reste identique :
$$ T(v) = (3, 2) $$
Les deux paramétrisations des courbes sont :
Pour C1 (arc de cercle) :
$$ \begin{cases} x(t) = 1 + \cos(t) \ y(t) = 1 + \sin(t) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x(u) = u \ y(u) = \sqrt{1 - (u - 1)^2} + 1 \end{cases} $$
Pour C2 (segment de droite) :
$$ \begin{cases} x(s) = 1 + 3s \ y(s) = 2s \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x(v) = 1 + 3v \ y(v) = 2v \end{cases} $$
Les vecteurs tangents sont :
Pour C1 :
- $T(t) = \left(-\sin(t), \cos(t)\right)$
- $T(u) = \left(1, \frac{-(u - 1)}{\sqrt{1 - (u - 1)^2}}\right)$
Pour C2 :
- $T(s) = (3, 2)$
- $T(v) = (3, 2)$
More Information
Les vecteurs tangents indiquent la direction de déplacement sur la courbe à chaque point. Comprendre ces vecteurs est essentiel pour des concepts comme la dérivation et la géométrie analytique.
Tips
- Confondre les paramétrisations des courbes et ne pas respecter les limites des paramètres.
- Oublier de dériver les équations pour trouver le vecteur tangent.
- Ne pas simplifier correctement les dérivées, ce qui peut conduire à des vecteurs tangents incorrects.
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