Soit C1 l'arc de cercle représenté ci-contre et soit C2, le segment reliant les points (1, 0) et (4, 2). Donner deux paramétrisations pour chacune des courbes. Calculer les vecteur... Soit C1 l'arc de cercle représenté ci-contre et soit C2, le segment reliant les points (1, 0) et (4, 2). Donner deux paramétrisations pour chacune des courbes. Calculer les vecteurs tangents respectifs.
Understand the Problem
La question demande de donner deux paramétrisations pour deux courbes, C1 et C2, et de calculer les vecteurs tangents respectifs pour chacune. C1 est un arc de cercle entre les points (1, 0) et (4, 2), tandis que C2 est une ligne droite entre ces deux points.
Answer
Les vecteurs tangents sont $(-r \sin(t), r \cos(t))$ pour C1 et $(3, 2)$ pour C2.
Answer for screen readers
Pour C1, les vecteurs tangents sont $(-r \sin(t), r \cos(t))$ et pour C2, le vecteur tangent est $(3, 2)$, où $r = \sqrt{3.25}$.
Steps to Solve
- Paramétrisation de C1 (arc de cercle)
Pour paramétriser l'arc de cercle reliant les points (1, 0) et (4, 2), nous devons identifier le centre et le rayon. Le centre est approximativement au point (2.5, 1). Le rayon est la distance entre le centre et l'un des points, par exemple: $$ r = \sqrt{(2.5-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + 1^2} = \sqrt{2.25 + 1} = \sqrt{3.25} $$
La paramétrisation est donnée par : $$\begin{cases} x(t) = 2.5 + r \cos(t) \ y(t) = 1 + r \sin(t) \end{cases}$$ où $t$ varie de l'angle correspondant entre les deux points.
- Paramétrisation de C2 (ligne droite)
Pour la droite reliant les points (1, 0) et (4, 2), nous utilisons la forme paramétrique de la droite. La direction du vecteur est $(4-1, 2-0) = (3, 2)$. La paramétrisation devient : $$\begin{cases} x(t) = 1 + 3t \ y(t) = 0 + 2t \end{cases}$$ où $t$ varie de 0 à 1 pour aller de (1, 0) à (4, 2).
- Calcul des vecteurs tangents pour C1
Le vecteur tangent pour C1 est trouvé en dérivant les fonctions paramétriques : $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -r \sin(t) \ \frac{dy}{dt} = r \cos(t) \end{cases}$$
- Calcul des vecteurs tangents pour C2
Pour C2, nous dérivons également : $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3 \ \frac{dy}{dt} = 2 \end{cases}$$
Les vecteurs tangents sont donc :
- Pour C1 : $(-r \sin(t), r \cos(t))$
- Pour C2 : $(3, 2)$
Pour C1, les vecteurs tangents sont $(-r \sin(t), r \cos(t))$ et pour C2, le vecteur tangent est $(3, 2)$, où $r = \sqrt{3.25}$.
More Information
L'arc de cercle s’inscrit dans un cercle. La paramétrisation de lignes droites est simple car il suffit de trouver un vecteur directeur. Les vecteurs tangents fournissent des informations sur la direction de chaque courbe.
Tips
- Oublier de calculer correctement le rayon pour C1.
- Ne pas paramétriser correctement le segment de droite en utilisant le bon vecteur directeur.
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