سککی سالمی را آنقدر پرتاب میکنیم تا برای اولین بار شیر مشاهده شود. فرض کنید تعداد خطاهای مشاهده شده قبل از مشاهده اولین شیر و تعداد پرتابهای لازم تا مشاهده اولین شیر باشد. در این... سککی سالمی را آنقدر پرتاب میکنیم تا برای اولین بار شیر مشاهده شود. فرض کنید تعداد خطاهای مشاهده شده قبل از مشاهده اولین شیر و تعداد پرتابهای لازم تا مشاهده اولین شیر باشد. در این صورت ضرب نسبت میان X و Y برابر است با:
Understand the Problem
این سوال به بررسی احتمال مشاهده شیر در اولین پرتاب و توزیع تعداد پرتابها تا مشاهده شیر بعدی میپردازد. برای حل سوال، باید با استفاده از قوانین احتمال، نسبت میان تعداد پرتابها و وقوع شرایط مشخص شده بررسی شود.
Answer
با توجه به توضیحات، جواب صحیح است: 0.
Answer for screen readers
احتمال اینکه در صورت همبستگی $X$ و $Y$ برابر با $\frac{1}{2}$ باشد، درست نیست.
Steps to Solve
-
تعریف متغیرها
- فرض میکنیم که تعداد پرتابها تا مشاهده اولین شیر، با $X$ و تعداد پرتابها تا مشاهده دوباره شیر، با $Y$ نمایش داده میشوند.
-
مدلسازی توزیع احتمال
- هر بار پرتاب سکه دارای دو حالت است: مشاهده شیر یا انجام نیافتن آن. فرض میکنیم احتمال مشاهده شیر برابر با $p$ و احتمال مشاهده خرگوش برابر با $1 - p$ میباشد. در این سوال، فرض میکنیم $p = \frac{1}{3}$.
-
محاسبه توزیع تعداد پرتابها
- تعداد پرتابها تا مشاهده اولین شیر، $X$، از توزیع هندسی پیروی میکند:
$$ P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p $$
برای هر $k \geq 1$، همچنین برای $Y$ نیز همین توزیع برقرار است.
-
محاسبه احتمال همبستگی
- برای بررسی اینکه در این صورت ضرب همبستگی $X$ و $Y$ برابر با $\frac{1}{2}$ است، باید به این نکته توجه کنیم که $X$ و $Y$ مستقل از هم نیستند.
-
نتیجهگیری
- با توجه به این که $X$ و $Y$ مستقل نیستند و هر دو از توزیع هندسی پیروی میکنند، با دنبال کردن معادلات و محاسبات، میتوانیم به جواب نهایی برسیم.
احتمال اینکه در صورت همبستگی $X$ و $Y$ برابر با $\frac{1}{2}$ باشد، درست نیست.
More Information
در این سوال احتمال و توزیع هندسی بسیار مهم هستند. توزیع هندسی از توزیعهای پرکاربرد در آمار و نظریه احتمال است که در برقراری شرایطی از قبیل مشاهده یک رویداد خاص پس از تعدادی آزمایش میتواند مفید باشد.
Tips
- فرض کردن وابستگی بین $X$ و $Y$ در شرایطی که این وابستگی وجود ندارد.
- نادیده گرفتن اهمیت نسبتهای احتمال و محاسبه دقیق آنها.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information