Si el conjunto de pares ordenados f {{8-1;5};{0;4};{-2;1};{0;m+2n};{-2;3n+2m};{(m;n)}} es una función, entonces ¿cuál es el valor de m? ¿cuál es el valor de n? ¿cuál es la suma de... Si el conjunto de pares ordenados f {{8-1;5};{0;4};{-2;1};{0;m+2n};{-2;3n+2m};{(m;n)}} es una función, entonces ¿cuál es el valor de m? ¿cuál es el valor de n? ¿cuál es la suma de los elementos que pertenecen al dominio f? ¿cuál es la suma de los elementos que pertenecen al rango f?

Understand the Problem

La pregunta está solicitando información sobre una función definida por un conjunto de pares ordenados. Necesita determinar el valor de 'm' y 'n', así como las sumas de los elementos del dominio y del rango de la función.

Answer

El valor de $m$ es $-10$, el valor de $n$ es $7$, la suma del dominio es $-1$ y la suma del rango es $16$.

Steps to Solve

Identificación de pares ordenados en la función Primero, identificamos los pares ordenados en el conjunto:

$(8, -1)$
$(5, 4)$
$(-2, 1)$
$(0, m + 2n)$
$(-2, 3n + 2m)$
$(m, n)$

Condición para que sea una función Para que el conjunto sea una función, cada elemento del dominio debe ser único. Observamos que el elemento $-2$ se repite con diferentes rangos: $1$ y $3n + 2m$.
Igualación de resultados Establecemos que para que sea una función, los rangos deben ser iguales: $$ 1 = 3n + 2m $$
Determinar el valor de m y n usando otros pares Igualamos el rango que corresponde a $0$: $$ 4 = m + 2n $$
Sistema de ecuaciones Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones:

$1 = 3n + 2m$
$4 = m + 2n$

Resolviendo las ecuaciones Podemos resolver el sistema de ecuaciones usando la eliminación o sustitución. De la ecuación (2), despejamos $m$: $$ m = 4 - 2n $$

Sustituimos en la ecuación (1): $$ 1 = 3n + 2(4 - 2n) $$

Simplificando la ecuación Simplificamos la ecuación: $$ 1 = 3n + 8 - 4n $$ $$ 1 = 8 - n $$ $$ n = 7 $$
Hallando m Sustituyendo el valor de $n$ en $m = 4 - 2n$: $$ m = 4 - 2(7) $$ $$ m = 4 - 14 $$ $$ m = -10 $$
Cálculo de la suma del dominio Para el dominio, tenemos:

Elementos: $8, 5, -2, 0, -2, m$ Sumamos el dominio:
$$ S_{dominio} = 8 + 5 + (-2) + 0 + (-2) + (-10) = -1 $$

Cálculo de la suma del rango Para el rango, considerando todos los valores:

Elementos: $-1, 4, 1, m + 2n, 3n + 2m, n$ $$ m + 2n = -10 + 2(7) = 4 $$
$$ 3n + 2m = 3(7) + 2(-10) = 21 - 20 = 1 $$ Entonces el rango es: $$ S_{rango} = -1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 7 = 16 $$

a) El valor de $m$ es $-10$.
b) El valor de $n$ es $7$.
c) La suma de los elementos que pertenecen al dominio $f$ es $-1$.
d) La suma de los elementos que pertenecen al rango $f$ es $16$.

More Information

Los valores de $m$ y $n$ se determinan a partir de la condición de unicidad de los pares ordenados en una función. Además, la suma del dominio y del rango refleja la diversidad de los valores en la función.

Tips

No verificar que los elementos del dominio sean únicos. Esto puede llevar a la identificación incorrecta de una función.
Olvidar que algunos elementos pueden repetirse en el dominio y que la función aún puede ser válida si estos elementos tienen diferentes rangos.

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