Sabendo que f'(x) = 2π x sen(2π x² + π) e que f(1/2) = 2, determine f(0).

Steps to Solve

1. Encontrar a antiderivada de ( f'(x) )

Para encontrar ( f(x) ), precisamos integrar ( f'(x) ). Assim, temos: $$ f(x) = \int 2\pi x \sin(2\pi x^2 + \pi) , dx $$

2. Aplicar a substituição apropriada

Utilizaremos a substituição ( u = 2\pi x^2 + \pi ), de modo que ( du = 4\pi x , dx ). Portanto, ( dx = \frac{du}{4\pi x} ). Substituindo na integral: $$ f(x) = \int \sin(u) \cdot \frac{2\pi x}{4\pi x} , du = \frac{1}{2} \int \sin(u) , du $$

3. Integrar a função seno

A integral de ( \sin(u) ) é: $$ \int \sin(u) , du = -\cos(u) + C $$ Assim, temos: $$ f(x) = -\frac{1}{2} \cos(2\pi x^2 + \pi) + C $$

4. Resolver usando a condição inicial

Sabemos que ( f\left(\frac{1}{2}\right) = 2 ). Precisamos substituir ( x = \frac{1}{2} ): $$ f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cos(2\pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \pi) + C $$ Calculando: $$ f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cos\left(\frac{2\pi}{4} + \pi\right) + C = -\frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) + C = -\frac{1}{2}(0) + C = C $$

Sendo assim, temos ( C = 2 ).

5. Encontrar ( f(0) )

Agora podemos calcular ( f(0) ): $$ f(0) = -\frac{1}{2} \cos(2\pi(0)^2 + \pi) + 2 = -\frac{1}{2} \cos(\pi) + 2 = -\frac{1}{2}(-1) + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} $$