Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas completas: a. x^4 - 5x^2 + 4 = 0 b. x^4 - 24x^2 - 25 = 0 c. 4x^4 - 13x^2 + 9 = 0 d. 100x^4 - 29x^2 + 1 = 0 e. 6x^4 + 5x^2 + 1 = 0 f.... Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas completas: a. x^4 - 5x^2 + 4 = 0 b. x^4 - 24x^2 - 25 = 0 c. 4x^4 - 13x^2 + 9 = 0 d. 100x^4 - 29x^2 + 1 = 0 e. 6x^4 + 5x^2 + 1 = 0 f. 4x^4 - 8x^2 - 5 = 0
Understand the Problem
La pregunta solicita resolver un conjunto de ecuaciones bicuadradas completas utilizando un método adecuado para encontrar sus soluciones.
Answer
Las soluciones son: a. \( x = 2, -2, 1, -1 \), b. \( x = 5, -5 \), c. \( x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \), d. Soluciones reales dependen de los valores, e. No hay soluciones reales, f. Soluciones dependen de los valores.
Answer for screen readers
Las soluciones son:
a. ( x = 2, -2, 1, -1 )
b. ( x = 5, -5 )
c. ( x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} )
d. Soluciones reales dependen de los valores calculados.
e. No hay soluciones reales.
f. Soluciones dependen de los valores calculados.
Steps to Solve
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Identificación de la variable
Para resolver ecuaciones bicuadradas, hacemos un cambio de variable. Sea ( y = x^2 ). Entonces cada ecuación se transforma en una ecuación cuadrática en ( y ).
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Transformación de la primera ecuación
Para ( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 ), cambiamos ( x^2 ) por ( y ): $$ y^2 - 5y + 4 = 0 $$
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Resolución de la ecuación cuadrática
Aplicamos la fórmula cuadrática ( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ): $$ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm 3}{2} $$ Esto da ( y_1 = 4 ) y ( y_2 = 1 ).
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Regreso a ( x )
Ahora revertimos el cambio ( y = x^2 ): $$ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2 $$ $$ x^2 = 1 \Rightarrow x = 1, -1 $$
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Repetir para las otras ecuaciones
Se siguen pasos similares para las demás ecuaciones:
b. Para ( x^4 - 24x^2 - 25 = 0 ): $$ y^2 - 24y - 25 = 0 $$ Resolviendo, obtenemos ( y_1 = 25 ) y ( y_2 = -1 ), resultando en ( x = 5, -5 ) (de ( y = 25 )) y ningún resultado real para ( y = -1 ).
c. Para ( 4x^4 - 13x^2 + 9 = 0 ): $$ 4y^2 - 13y + 9 = 0 $$ Con resultados ( y_1 = 3 ) y ( y_2 = \frac{3}{4} ). Luego ( x = \pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2} ).
d. Para ( 100x^4 - 29x^2 + 1 = 0 ): $$ 100y^2 - 29y + 1 = 0 $$ Resultados ( y_1 = \frac{29 + \sqrt{841}}{200} ) y ( y_2 = \frac{29 - \sqrt{841}}{200} ) que dan valores para ( x ).
e. Para ( 6x^4 + 5x^2 + 1 = 0 ): $$ 6y^2 + 5y + 1 = 0 $$ Su discriminante es negativo, así que no hay soluciones reales.
f. Para ( 4x^4 - 8x^2 - 5 = 0 ): $$ 4y^2 - 8y - 5 = 0 $$ Solucionamos y encontramos las raíces.
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Consolidación de soluciones
Reunimos todas las soluciones encontradas de cada ecuación.
Las soluciones son:
a. ( x = 2, -2, 1, -1 )
b. ( x = 5, -5 )
c. ( x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} )
d. Soluciones reales dependen de los valores calculados.
e. No hay soluciones reales.
f. Soluciones dependen de los valores calculados.
More Information
Las ecuaciones bicuadradas son útiles en la simplificación de polinomios de cuarto grado y permiten encontrar soluciones en pasos más sencillos. A menudo es necesario verificar el discriminante para determinar la existencia de soluciones reales.
Tips
- Olvidar el cambio de variable al resolver ecuaciones bicuadradas.
- No verificar los valores de ( y ) negativos que no generan soluciones reales en ( x ).
- No aplicar correctamente la fórmula cuadrática.
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