Résoudre les équations différentielles et déterminer les solutions vérifiant les conditions initiales.
Understand the Problem
La question demande de résoudre certaines équations différentielles et de déterminer des solutions vérifiant des conditions initiales données. Il s'agit de calculs liés aux solutions de ces équations, y compris la représentation graphique des solutions.
Answer
Pour a) $y(x) = -\frac{1}{4} e^{4x} + \frac{1}{2}x + \frac{11}{4}$, pour b) $y(x) = \frac{1}{6}e^{\frac{1}{2}x} + \frac{14}{9} e^{-\frac{1}{2}x}$.
Answer for screen readers
a) La solution vérifiant la condition initiale $f(0) = -1$ pour l'équation $y' - 4y = 2x + 3$ est
$$ y(x) = -\frac{1}{4} e^{4x} + \frac{1}{2}x + \frac{11}{4} $$
b) La solution vérifiant la condition initiale $f(0) = 4$ pour l'équation $6y' - 3y = e^x$ est
$$ y(x) = \frac{1}{6}e^{\frac{1}{2}x} + \frac{14}{9} e^{-\frac{1}{2}x} $$
Steps to Solve
- Résoudre l'équation différentielle pour a)
Pour l'équation $y' - 4y = 2x + 3$, nous laissons ceci sous forme standard et identifions les termes. La solution générale d'une équation de la forme $y' + p(x)y = g(x)$ peut être trouvée en utilisant le facteur intégrant. Ici, le facteur intégrant est $e^{\int -4 , dx} = e^{-4x}$.
- Calculer la solution générale
On multiplie l'équation par le facteur intégrant :
$$ e^{-4x}(y' - 4y) = e^{-4x}(2x + 3) $$
Ce qui nous donne :
$$ \frac{d}{dx}(y e^{-4x}) = 2xe^{-4x} + 3e^{-4x} $$
- Intégrer les deux côtés
Intégrons des deux côtés :
$$ y e^{-4x} = \int (2xe^{-4x} + 3e^{-4x}) , dx $$
Pour résoudre cette intégrale, nous utilisons l'intégration par parties pour le terme $2xe^{-4x}$.
- Appliquer la condition initiale
Une fois que nous avons la solution générale, nous appliquons la condition initiale $f(0) = -1$ pour déterminer la constante d'intégration.
- Répéter la procédure pour b)
Pour l'équation $6y' - 3y = e^x$, nous réécrivons comme $y' - \frac{1}{2}y = \frac{1}{6}e^x$, puis trouvons le facteur intégrant $e^{\int -\frac{1}{2} , dx} = e^{-\frac{1}{2}x}$.
Nous suivons les mêmes étapes que précédemment.
- Dessiner la courbe de la solution
Pour chaque solution obtenue, nous utiliserons un logiciel comme GeoGebra pour représenter les courbes correspondantes.
a) La solution vérifiant la condition initiale $f(0) = -1$ pour l'équation $y' - 4y = 2x + 3$ est
$$ y(x) = -\frac{1}{4} e^{4x} + \frac{1}{2}x + \frac{11}{4} $$
b) La solution vérifiant la condition initiale $f(0) = 4$ pour l'équation $6y' - 3y = e^x$ est
$$ y(x) = \frac{1}{6}e^{\frac{1}{2}x} + \frac{14}{9} e^{-\frac{1}{2}x} $$
More Information
La solution d'une équation différentielle peut inclure une partie homogène et une partie particulière. Les conditions initiales sont essentielles pour déterminer les constantes dans la solution générale.
Tips
- Oublier de multiplier tous les termes par le facteur intégrant.
- Ne pas appliquer correctement la méthode d'intégration par parties.
- Négliger de vérifier si les solutions satisfont les conditions initiales.
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