Quel est le nom donné à la droite (AM) ? Quel est le coefficient directeur de (AM) ? Quelle est la valeur de f'(1) ? On a f'(3) = 6. Donner une équation de la tangente à Cf au poin... Quel est le nom donné à la droite (AM) ? Quel est le coefficient directeur de (AM) ? Quelle est la valeur de f'(1) ? On a f'(3) = 6. Donner une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 3.
Understand the Problem
La question porte sur des concepts de géométrie liés aux courbes et aux tangentes. Elle demande d'identifier le nom de certaines droites et d'effectuer des calculs liés à la courbe donnée par la fonction f(x) = x^2.
Answer
1. a 2. $2 + h$ 3. $2$ 4. $y = 6(x - 3) + 9$
Answer for screen readers
- Option a : Sécante à M issue de A.
- Coefficient directeur de (AM) : $2 + h$.
- Valeur de $f'(1)$ : $2$.
- Équation de la tangente : $y = 6(x - 3) + 9$.
Steps to Solve
- Déterminer le nom de la droite (AM)
La droite (AM) relie les points $A(1; 1)$ et $M(1+h; f(1+h))$. Comme elle relie deux points distincts sur la courbe, elle est qualifiée de sécante si elle ne touche pas la courbe en un point, et de tangente si elle la touche en un point commun. Dans ce cas, étant donné que le point A est sur la courbe, la droite est décrite comme une sécante à M issue de A.
- Calculer le coefficient directeur de (AM)
Le coefficient directeur $m$ de la droite (AM) est donné par la formule :
$$ m = \frac{f(1+h) - f(1)}{(1+h) - 1} $$
En utilisant $f(x) = x^2$, nous avons :
$$ f(1+h) = (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2 \ f(1) = 1^2 = 1 $$
Ainsi,
$$ m = \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h $$
- Déterminer la valeur de ( f'(1) )
Pour trouver ( f'(x) ), nous dérivons la fonction ( f(x) = x^2 ), ce qui nous donne ( f'(x) = 2x ). En évaluant à ( x = 1 ) :
$$ f'(1) = 2 \times 1 = 2 $$
- Écrire l'équation de la tangente en (3, f(3))
On sait que la formule de la tangente à une fonction ( f(x) ) au point d'abscisse ( a ) est donnée par :
$$ y - f(a) = f'(a)(x - a) $$
En utilisant les informations données ( f'(3) = 6 ) et ( f(3) = 3^2 = 9 ), on a :
$$ y - 9 = 6(x - 3) $$
Ce qui peut être réarrangé pour donner :
$$ y = 6(x - 3) + 9 $$
- Option a : Sécante à M issue de A.
- Coefficient directeur de (AM) : $2 + h$.
- Valeur de $f'(1)$ : $2$.
- Équation de la tangente : $y = 6(x - 3) + 9$.
More Information
Les réponses ici se basent sur la compréhension des propriétés des tangentes et des sécantes dans la géométrie analytique, et utilisent les dérivées pour déterminer les pentes.
Tips
- Confondre la sécante et la tangente : il faut rappeler que la sécante connecte deux points sur la courbe, tandis que la tangente touche la courbe en un point.
- Oublier de dériver correctement pour obtenir $f'(x)$ : cela peut provoquer des erreurs dans l'évaluation des pentes.
- Ne pas remplacer correctement les valeurs dans la formule de la tangente.
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