Qual è il risultato di det(λA) se λ è un numero scalare?
Understand the Problem
La domanda chiede quale sia il risultato del determinante di una matrice scalata per un numero scalare. Per risolvere questo, dobbiamo richiamare la proprietà dei determinanti delle matrici ed esaminare come la moltiplicazione di una matrice per uno scalare influisca sul suo determinante.
Answer
Il determinante di una matrice scalata $kA$ è $k^n \cdot \text{det}(A)$.
Answer for screen readers
Il determinante di una matrice scalata $kA$ è dato da:
$$ \text{det}(kA) = k^n \cdot \text{det}(A) $$
dove $n$ è la dimensione della matrice $A$.
Steps to Solve
- Definire il problema Iniziamo definendo il determinante di una matrice scalata. Quando si moltiplica una matrice $A$ di dimensione $n \times n$ per uno scalare $k$, il determinante della matrice scalata è dato da:
$$ \text{det}(kA) = k^n \cdot \text{det}(A) $$
- Applicare la proprietà del determinante Se conosciamo il valore del determinante della matrice originale $A$, possiamo calcolare il determinante della matrice scalata $kA$ utilizzando la formula sopra. In altre parole, se $D = \text{det}(A)$, allora:
$$ \text{det}(kA) = k^n \cdot D $$
- Esempio pratico Supponiamo che $A$ sia una matrice $2 \times 2$ e che $\text{det}(A) = 5$. Se scalando la matrice per un numero $k = 3$, allora:
$$ \text{det}(3A) = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45 $$
Il determinante di una matrice scalata $kA$ è dato da:
$$ \text{det}(kA) = k^n \cdot \text{det}(A) $$
dove $n$ è la dimensione della matrice $A$.
More Information
La proprietà dei determinanti è molto utile in algebra lineare, in particolare quando si deve calcolare il determinante di matrici scalate. Questo principio aiuta a semplificare i calcoli quando si lavora con matrici di grandi dimensioni.
Tips
- Dimenticare di elevare lo scalare alla potenza corretta. È importante ricordare che se la matrice è di dimensione $n \times n$, deve essere elevata a $n$.
- Confondere i determinanti di matrici di dimensioni diverse. Assicurarsi che la dimensione della matrice sia corretta quando si calcola il determinante della matrice scalata.
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