Qual dos seguintes é o verdadeiro valor estimado para o β̂₁?
Understand the Problem
A questão está pedindo para encontrar o valor estimado de β̂₁ na equação de regressão múltipla fornecida, baseando-se nos dados apresentados, incluindo a matriz (X'X)⁻¹ e os valores de (X'y).
Answer
$2.89$
Answer for screen readers
O valor estimado para $\hat{\beta}_1$ é $2.89$.
Steps to Solve
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Identificar os componentes da equação de regressão A equação de regressão múltipla é dada por $y_t = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + u_t$. Os coeficientes estimados podem ser obtidos por meio da fórmula $\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'y$.
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Calcular $\hat{\beta}$ com a matriz fornecida A matriz $(X'X)^{-1}$ e o vetor $(X'y)$ foram fornecidos:
- $ (X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 1.3 & 2.1 & -1.4 \ 2.1 & 0.8 & 1.9 \ -1.4 & 1.9 & 3.4 \end{bmatrix} $
- $ (X'y) = \begin{bmatrix} -1.6 \ 2.9 \ 0.8 \end{bmatrix} $
Para encontrar $\hat{\beta}$, multiplicamos essas duas matrizes.
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Realizar a multiplicação matricial Para calcular $\hat{\beta}$, devemos realizar a multiplicação de $(X'X)^{-1}$ por $(X'y)$: $$ \hat{\beta} = (X'X)^{-1} (X'y) $$
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Calcular a primeira entrada de $\hat{\beta}$ Realizamos os cálculos para encontrar $\betâ_1$ (a primeira entrada de $\hat{\beta}$):
- Multiplique a primeira linha de $(X'X)^{-1}$ pela matriz $(X'y)$ e some os produtos.
- Exemplo de cálculo Assim, precisamos calcular: $$ \beta_1 = 1.3(-1.6) + 2.1(2.9) - 1.4(0.8) $$ Calculando: $$ \beta_1 = -2.08 + 6.09 - 1.12 = 2.89 $$
O valor estimado para $\hat{\beta}_1$ é $2.89$.
More Information
O resultado indica que, com base nos dados e na matriz de regressão, o coeficiente estimado para a variável explicativa correspondente a $\beta_1$ é $2.89$. Este valor pode ter interpretações variadas, dependendo do contexto da análise.
Tips
- Erro na multiplicação de matrizes: É comum confundir as ordens das multiplicações ao calcular $\hat{\beta}$. Certifique-se de que as dimensões estão corretas.
- Sinais das entradas: Às vezes, os sinais nas entradas da matriz podem ser trocados. É importante verificar cada passo do cálculo.
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