Pregunta 3: Dada la función definida por f(x) = -2/7x + 11/5, -2 < x < 3. a) Grafique la función en el sistema bidimensional y determine su rango. b) Halle las coordenadas de los p... Pregunta 3: Dada la función definida por f(x) = -2/7x + 11/5, -2 < x < 3. a) Grafique la función en el sistema bidimensional y determine su rango. b) Halle las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados en ambos ejes. c) Si el punto (a,a^2) pertenece a la gráfica de la función, determine el valor de 24a.
Understand the Problem
La pregunta solicita resolver varios aspectos de la función f(x) = -2/7x + 11/5, incluyendo realizar el gráfico en un plano bidimensional, determinar el rango de la función, encontrar las coordenadas de intersección con los ejes y calcular un valor específico relacionado con un punto en la gráfica.
Answer
Intersección con eje $y$: $(0, \frac{11}{5})$, intersección con eje $x$: $(\frac{77}{10}, 0)$, rango: $(-\infty, \infty)$, $f(2) = \frac{57}{35}$.
Answer for screen readers
Intersecciones: $(0, \frac{11}{5})$ y $(\frac{77}{10}, 0)$, rango: $(-\infty, \infty)$, valor en $f(2) = \frac{57}{35}$.
Steps to Solve
- Encontrar las intersecciones con los ejes
Para encontrar la intersección con el eje $y$, evaluamos la función en $x = 0$: $$ f(0) = -\frac{2}{7}(0) + \frac{11}{5} = \frac{11}{5} $$ Por lo tanto, la intersección con el eje $y$ es $(0, \frac{11}{5})$.
Para encontrar la intersección con el eje $x$, establecemos $f(x) = 0$ y resolvemos para $x$: $$ 0 = -\frac{2}{7}x + \frac{11}{5} $$ $$ \frac{2}{7}x = \frac{11}{5} $$ Multiplicamos ambos lados por $\frac{7}{2}$: $$ x = \frac{11}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{77}{10} $$ La intersección con el eje $x$ es $(\frac{77}{10}, 0)$.
- Determinar el rango de la función
Como la función es lineal y tiene una pendiente negativa, el rango es todo el conjunto de los números reales.
Entonces, el rango se puede expresar como: $$ R = (-\infty, \infty) $$
- Gráficar la función en un plano bidimensional
Para graficar la función, usamos las intersecciones que hemos encontrado y algunos puntos adicionales si es necesario. Dibuja una línea recta que pase por los puntos $(0, \frac{11}{5})$ y $(\frac{77}{10}, 0)$.
- Calcular un valor específico relacionado con un punto en la gráfica
Si se necesita encontrar un valor específico, como por ejemplo $f(2)$: $$ f(2) = -\frac{2}{7}(2) + \frac{11}{5} $$ Calculamos: $$ f(2) = -\frac{4}{7} + \frac{11}{5} $$ Para sumar estas fracciones, encontramos un común denominador: $$ f(2) = -\frac{4 \cdot 5}{35} + \frac{11 \cdot 7}{35} = -\frac{20}{35} + \frac{77}{35} = \frac{57}{35} $$
Intersecciones: $(0, \frac{11}{5})$ y $(\frac{77}{10}, 0)$, rango: $(-\infty, \infty)$, valor en $f(2) = \frac{57}{35}$.
More Information
El rango de una función lineal puede extenderse a todos los números reales, mientras que las intersecciones con los ejes ayudan a visualizar su gráfica. Al graficar, cada punto calculado proporciona una guía clara sobre cómo se comporta la función en el plano.
Tips
- Olvidar calcular las intersecciones correctamente.
- No considerar que el rango de funciones lineales es todo el conjunto de números reales.
- Seleccionar un común denominador incorrecto al sumar fracciones.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
