Pregunta 2: En una hipérbola se tiene que los puntos (0,0) y F1(-25,0) son respectivamente el centro y un foco. Si la longitud de su segmento conjugado mide 48 unidades, determine:... Pregunta 2: En una hipérbola se tiene que los puntos (0,0) y F1(-25,0) son respectivamente el centro y un foco. Si la longitud de su segmento conjugado mide 48 unidades, determine: a) Las coordenadas de los vértices, coovertices, y las ecuaciones de sus asíntotas. b) La ecuación canónica de la hipérbola y gráfica en el plano cartesiano. Pregunta 3: Dada la función definida por f(x) = -2/7x + 11, -2 < x < 3. a) Grafique la función en el sistema bidimensional y determine su rango. b) Halle las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados en ambos ejes. c) Si el punto (a,a^2) pertenece a la gráfica de la función, determine el valor de 24a. Pregunta 4: Dada la función g definida por g(x) = 3 - √x + 2, x < 14. a) Determine el dominio. b) Grafique la función en el sistema bidimensional y determine su rango. c) Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección. Pregunta 5: Un cohete de fuegos artificiales es lanzado desde el suelo, y su altura, en metros, después de t segundos está dada por la función h(t) = -2t^2 + 16t. a) El dominio de la función h. b) Después de cuántos segundos el cohete alcanza su altura máxima? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? d) ¿A cuántos segundos el cohete se encuentra a 20 metros de altura?
Understand the Problem
La pregunta está relacionada con conceptos de matemáticas, específicamente la graficación de funciones, análisis de hipérbolas y el movimiento de un cohete. Se requiere evaluar características de estas funciones y sus gráficos, así como determinar intervalos y puntos de intersección.
Answer
Dominio: $t \geq 0$; Altura máxima: 32 m a $t = 4$ s; $t = 4 \pm \sqrt{6}$ para 20 m.
Answer for screen readers
- Dominio: $t \geq 0$
- Altura máxima: 32 metros, alcanzada a los 4 segundos.
- Tiempos a 20 metros: $t_1 \approx 6.45$ segundos y $t_2 \approx 1.55$ segundos.
Steps to Solve
- Identificar la funció h(t)
La función que describe la altura del cohete es $h(t) = -2t^2 + 16t$. Aquí, $t$ es el tiempo en segundos y $h(t)$ es la altura en metros.
- Determinar el dominio de la función h(t)
El dominio de $h(t)$ se determinará observando que el tiempo $t$ debe ser mayor o igual a 0, ya que el cohete es lanzado desde el suelo.
Por lo tanto, el dominio es: $$ t \geq 0 $$
- Encontrar el vértice de la parábola para la altura máxima
La función es una parábola de apertura hacia abajo. El tiempo en el que se alcanza la altura máxima se encuentra usando la fórmula ( t = -\frac{b}{2a} ) donde $a = -2$ y $b = 16$.
Sustituyendo los valores: $$ t = -\frac{16}{2 \cdot -2} = 4 \text{ segundos} $$
- Calcular la altura máxima
Sustituyamos $t = 4$ en la función $h(t)$ para encontrar la altura máxima: $$ h(4) = -2(4^2) + 16(4) $$ $$ h(4) = -32 + 64 = 32 \text{ metros} $$
- Determinar a qué tiempo el cohete alcanza 20 metros
Para encontrar cuándo el cohete está a 20 metros, igualamos la función a 20: $$ -2t^2 + 16t = 20 $$
Reorganizamos la ecuación para ponerla en forma estándar: $$ -2t^2 + 16t - 20 = 0 $$
Dividimos entre -2: $$ t^2 - 8t + 10 = 0 $$
- Resolver la ecuación cuadrática
Usamos la fórmula cuadrática ( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ): Donde ( a = 1, b = -8, c = 10 ).
Calculamos el discriminante: $$ b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(10) = 64 - 40 = 24 $$
Sustituyendo en la fórmula cuadrática: $$ t = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 4 \pm \sqrt{6} $$
Esto nos da dos soluciones para ( t ): $$ t_1 = 4 + \sqrt{6} \text{ y } t_2 = 4 - \sqrt{6} $$
- Dominio: $t \geq 0$
- Altura máxima: 32 metros, alcanzada a los 4 segundos.
- Tiempos a 20 metros: $t_1 \approx 6.45$ segundos y $t_2 \approx 1.55$ segundos.
More Information
La altura máxima del cohete se alcanza en el vértice de la parábola, que es clave en el análisis de funciones cuadráticas. La ecuación cuadrática también se utiliza para encontrar los puntos específicos donde la función cumple con ciertos valores, como en este caso.
Tips
- No considerar el signo de $a$ al encontrar el vértice de la parábola.
- Olvidar que el dominio de una función debe ser no negativo para este contexto, es decir, $t \geq 0$.
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