O કેન્દ્ર અને 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા એક વર્તુળમાં જીવા PQની લંબાઈ 8 સેમી છે. P અને Q પરના સ્પર્શકો T બિંદુમાં છેદે છે. TPની લંબાઈ શોધો. O કેન્દ્ર અને 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા એક વર્તુળમાં જીવા PQની લંબાઈ 8 સેમી છે. P અને Q પરના સ્પર્શકો T બિંદુમાં છેદે છે. TPની લંબાઈ શોધો. Read more

Steps to Solve

1. OR ની લંબાઈ શોધો

OR એ વર્તુળના કેન્દ્ર O થી જીવા PQ પરનો લંબ છે, તેથી $\text{PR} = \frac{1}{2} \cdot \text{PQ}$. બીજી રીતે કહીએ તો $PR = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ સેમી}$. ત્રિકોણ OPR કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે OR શોધી શકીએ:

$OR = \sqrt{OP^2 - PR^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ સેમી}$.

2. RP ની લંબાઈ શોધો

ત્રિકોણ OTP કાટકોણ ત્રિકોણ છે, કારણ કે સ્પર્શક ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે. તેથી કાટકોણ ત્રિકોણ OTP માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $OT^2 = TP^2 + OP^2$.

3. OT = x ધારો

ધારો કે TR = x. તેથી OT = OR + RT = $3 + x$. હવે, TPની લંબાઈ શોધવા માટે પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો. તેમજ ત્રિકોણ TPR કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી, $TP^2 = TR^2 + PR^2$

$TP^2 = x^2 + 4^2 = x^2 + 16$.

4. OT શોધો

$OT^2 = TP^2 + OP^2$ માં, કિંમતો મૂકીએ:

$(3 + x)^2 = x^2 + 16 + 5^2$

$9 + 6x + x^2 = x^2 + 16 + 25$

$9 + 6x = x^2 + 41$ હવે સમીકરણ ઉકેલો:

$6x = 41 - 9$

$6x = 32$

$x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$.

5. TP ની ગણતરી કરો

હવે TP ની લંબાઈ શોધો:

$TP^2 = x^2 + 16 = (\frac{16}{3})^2 + 16 = \frac{256}{9} + 16 = \frac{256 + 144}{9} = \frac{400}{9}$

$TP = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}$ સેમી.