متغیر تصادفی X دچار پیروی احتمال زیر است: f(x) = 2e^{-2x}, x ≥ 0 مقدار P(|X - μ| < 1/2) برابر کدام گزینه است؟

Steps to Solve

1. محاسبه میانگین توزیع احتمال

برای محاسبه میانگین $\mu$ متغیر تصادفی X، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم: $$ \mu = \int_0^\infty x f(x) , dx $$ که در اینجا $f(x) = 2e^{-2x}$.

2. محاسبه میانگین

به جای $f(x)$ مقدار را قرار می‌دهیم و حساب می‌کنیم: $$ \mu = \int_0^\infty x \cdot 2e^{-2x} , dx $$ با استفاده از تکنیک‌های انتگرال‌گیری، نتیجه می‌گیریم که: $$ \mu = \frac{1}{2} $$

3. محاسبه احتمال P(|X - μ| < 1/2)

حالا باید مقدار $P(|X - \mu| < \frac{1}{2})$ را محاسبه کنیم. این عبارت به دو قسمت تقسیم می‌شود: $$ P(\mu - \frac{1}{2} < X < \mu + \frac{1}{2}) = P(0 < X < 1) $$

4. محاسبه احتمال برای بازه مورد نظر

حال باید این احتمال را با استفاده از تابع توزیع احتمال محاسبه کنیم: $$ P(0 < X < 1) = \int_0^1 f(x) , dx = \int_0^1 2e^{-2x} , dx $$

5. محاسبه انتگرال

حالا انتگرال را محاسبه می‌کنیم: $$ \int_0^1 2e^{-2x} , dx = \left[-e^{-2x}\right]_0^1 = -e^{-2} + 1 = 1 - e^{-2} $$