ما فائدة المعادلة المعطاة؟

Steps to Solve

1. الفهم الأولي للمعادلة لدينا المعادلة المعطاة: $$ z = (2x - a)^2 + (3y - b)^2 $$ سنحتاج إلى استخدام المشتقات الجزئية لإيجاد المعادلة التفاضلية المعنية.

2. حساب المشتقات الجزئية نبدأ بحساب المشتقات الجزئية لـ $z$ بالنسبة لـ $x$ و $y$:

• المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$: $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 2(2x - a)(2) = 4(2x - a) $$
• المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $y$: $$ \frac{\partial z}{\partial y} = 2(3y - b)(3) = 6(3y - b) $$

3. حساب المشتقات الثانية نقوم بحساب المشتقات الثانية لمشتقات $z$:

• المشتقة الثانية بالنسبة لـ $x$: $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 8 $$ نظراً لأن التعويض عن $a$ يؤدي إلى قيمة ثابتة.
• المشتقة الثانية بالنسبة لـ $y$: $$ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 18 $$

4. إزالة المتغيرات $a$ و $b$ نعيد تشكيل المعادلة للتخلص من $a$ و $b$ باستخدام المشتقات المحسوبة وعلى افتراض العلاقات التي توجد بين المشتقات:

تناسب الكتلة التي نحتاجها الناتجة عن المشتقات الجزئية:

$$ \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{12} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$

وهذا يقودنا إلى تقييم الخيارات المتاحة.