ما فائدة المعادلة المعطاة؟
Understand the Problem
السؤال يسأل عن فائدة معينة تتعلق بمعادلة تفاضلية جزئية. يبدو أننا نحتاج إلى تحليل المعادلة المعطاة لتحديد الجواب الصحيح من الخيارات المتاحة.
Answer
الخيار 2: $$ \frac{1}{9} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$
Answer for screen readers
الجواب الصحيح هو الخيار 2، والذي يمثل المعادلة: $$ \frac{1}{9} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$
Steps to Solve
-
الفهم الأولي للمعادلة لدينا المعادلة المعطاة: $$ z = (2x - a)^2 + (3y - b)^2 $$ سنحتاج إلى استخدام المشتقات الجزئية لإيجاد المعادلة التفاضلية المعنية.
-
حساب المشتقات الجزئية نبدأ بحساب المشتقات الجزئية لـ $z$ بالنسبة لـ $x$ و $y$:
- المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$: $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 2(2x - a)(2) = 4(2x - a) $$
- المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $y$: $$ \frac{\partial z}{\partial y} = 2(3y - b)(3) = 6(3y - b) $$
- حساب المشتقات الثانية نقوم بحساب المشتقات الثانية لمشتقات $z$:
- المشتقة الثانية بالنسبة لـ $x$: $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 8 $$ نظراً لأن التعويض عن $a$ يؤدي إلى قيمة ثابتة.
- المشتقة الثانية بالنسبة لـ $y$: $$ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 18 $$
- إزالة المتغيرات $a$ و $b$ نعيد تشكيل المعادلة للتخلص من $a$ و $b$ باستخدام المشتقات المحسوبة وعلى افتراض العلاقات التي توجد بين المشتقات:
تناسب الكتلة التي نحتاجها الناتجة عن المشتقات الجزئية:
$$ \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{12} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$
وهذا يقودنا إلى تقييم الخيارات المتاحة.
الجواب الصحيح هو الخيار 2، والذي يمثل المعادلة: $$ \frac{1}{9} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$
More Information
المعادلات التفاضلية الجزئية تتعامل مع التغيرات في عدة متغيرات مستقلة. في هذا السياق، نستخدم المشتقات للتوزيع الجيومتري للنقاط في الفضاء وكيفية تأثير المتغيرات الأخرى عليها.
Tips
- عدم حساب المشتقات الجزئية بشكل صحيح قد يؤدي إلى أخطاء في صياغة المعادلة.
- إغفال المشتقات الثانية يمكن أن يلقي بظلاله على الحل النهائي، لذا يُنصح بمراجعة هذه الحسابات بشكل دقيق.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information