ما فائدة المعادلة المعطاة؟

Question image

Understand the Problem

السؤال يسأل عن فائدة معينة تتعلق بمعادلة تفاضلية جزئية. يبدو أننا نحتاج إلى تحليل المعادلة المعطاة لتحديد الجواب الصحيح من الخيارات المتاحة.

Answer

الخيار 2: $$ \frac{1}{9} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$
Answer for screen readers

الجواب الصحيح هو الخيار 2، والذي يمثل المعادلة: $$ \frac{1}{9} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$

Steps to Solve

  1. الفهم الأولي للمعادلة لدينا المعادلة المعطاة: $$ z = (2x - a)^2 + (3y - b)^2 $$ سنحتاج إلى استخدام المشتقات الجزئية لإيجاد المعادلة التفاضلية المعنية.

  2. حساب المشتقات الجزئية نبدأ بحساب المشتقات الجزئية لـ $z$ بالنسبة لـ $x$ و $y$:

  • المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $x$: $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 2(2x - a)(2) = 4(2x - a) $$
  • المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $y$: $$ \frac{\partial z}{\partial y} = 2(3y - b)(3) = 6(3y - b) $$
  1. حساب المشتقات الثانية نقوم بحساب المشتقات الثانية لمشتقات $z$:
  • المشتقة الثانية بالنسبة لـ $x$: $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 8 $$ نظراً لأن التعويض عن $a$ يؤدي إلى قيمة ثابتة.
  • المشتقة الثانية بالنسبة لـ $y$: $$ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 18 $$
  1. إزالة المتغيرات $a$ و $b$ نعيد تشكيل المعادلة للتخلص من $a$ و $b$ باستخدام المشتقات المحسوبة وعلى افتراض العلاقات التي توجد بين المشتقات:

تناسب الكتلة التي نحتاجها الناتجة عن المشتقات الجزئية:

$$ \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{12} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$

وهذا يقودنا إلى تقييم الخيارات المتاحة.

الجواب الصحيح هو الخيار 2، والذي يمثل المعادلة: $$ \frac{1}{9} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{16} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = z $$

More Information

المعادلات التفاضلية الجزئية تتعامل مع التغيرات في عدة متغيرات مستقلة. في هذا السياق، نستخدم المشتقات للتوزيع الجيومتري للنقاط في الفضاء وكيفية تأثير المتغيرات الأخرى عليها.

Tips

  • عدم حساب المشتقات الجزئية بشكل صحيح قد يؤدي إلى أخطاء في صياغة المعادلة.
  • إغفال المشتقات الثانية يمكن أن يلقي بظلاله على الحل النهائي، لذا يُنصح بمراجعة هذه الحسابات بشكل دقيق.

AI-generated content may contain errors. Please verify critical information

Thank you for voting!
Use Quizgecko on...
Browser
Browser