Legyen f(x) := 7x' hatványfüggvény. Ekkor f'(7) = 78. f konvex. f-nek az a = 0 pontban lokális szélsöértéke van.
Understand the Problem
A kérdés a f(x) és annak deriváltjának elemzésére vonatkozik, illetve egy lokális szélsőérték keresésére. A f(x) mint hatványfüggvény definiálva van, és információkat ad a konvexitásról és a lokális szélsőértékről az a=0 pontban.
Answer
A lokális szélsőérték a $f(x)$ függvény esetén $x=0$ és a következő: - Ha $n = 2$, akkor lokális minimum; - Ha $n < 2$, lokális maximum; - Ha $n > 2$, konvexitás nem áll meg az $x=0$-n.
Answer for screen readers
A lokális szélsőérték a $f(x)$ függvény esetén $x=0$-n, a következők szerint:
- Ha $n = 2$, akkor lokális minimum;
- Ha $n < 2$, lokális maximum;
- Ha $n > 2$, konvexitás nem áll meg az $x=0$-n, így egy nulladik rendű szélsőértékről beszélünk.
Steps to Solve
- Hatványfüggvény definiálása
Legyen a $f(x) = ax^n$, ahol $a$ és $n$ konstansok. Ez a függvény a hatványfüggvények mintájára van meghatározva.
- Derivált kiszámítása
A $f(x)$ deriváltját a következőképpen számítjuk ki: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1} $$
- Lokális szélsőértékek keresése
A lokális szélsőértékek megtalálásához meg kell határoznunk azokat az $x$ értékeket, ahol a derivált $f'(x)$ nulla: $$ f'(x) = 0 \Rightarrow anx^{n-1} = 0 $$
- Megoldás a derivált nullához állításával
Az egyenletből látható, hogy $f'(x) = 0$ akkor teljesül, ha $x = 0$. Ez a lehetséges lokális szélsőérték.
- Második derivált teszt
A konvexitás vizsgálatához kiszámítjuk a második deriváltat: $$ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(ax^n) = an(n-1)x^{n-2} $$
Most érdemes megnézni $f''(0)$ értékét, hogy meghatározzuk, hogy az $x = 0$ pontban lokális minimum vagy maximum található.
- Eredmény a konvexitásról
Ha $n > 1$, akkor $f''(0) = 0$. Ha $n = 2$, akkor $f''(0) > 0$, ami lokális minimumot jelez. Ha $n < 2$, akkor $f''(0)$ negatív, ami lokális maximumot jelez.
A lokális szélsőérték a $f(x)$ függvény esetén $x=0$-n, a következők szerint:
- Ha $n = 2$, akkor lokális minimum;
- Ha $n < 2$, lokális maximum;
- Ha $n > 2$, konvexitás nem áll meg az $x=0$-n, így egy nulladik rendű szélsőértékről beszélünk.
More Information
A hatványfüggvények és deriváltjaik segítenek megérteni a függvények viselkedését. A lokális szélsőértékek fontos információkat adnak arról, hogyan változik a függvény a környező értékekhez képest.
Tips
- Nem számolják ki helyesen a deriváltat, ami elvezet a lokális szélsőértékek hibás meghatározásához. Minden esetben figyelni kell az alapvető deriválási szabályokra.
- A második derivált teszt elhanyagolása, ami szükséges a konvexitás pontos meghatározásához.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
