Legyen az f függvény folyamatos az [a;b] intervallumon, és differenciálható az ]a;b[ intervallumon. Ha f'(x) > 0 bármely x ∈ ]a;b[ esetén, akkor f szigorúan monoton növő az [a;b] i... Legyen az f függvény folyamatos az [a;b] intervallumon, és differenciálható az ]a;b[ intervallumon. Ha f'(x) > 0 bármely x ∈ ]a;b[ esetén, akkor f szigorúan monoton növő az [a;b] intervallumon.
Understand the Problem
A kérdés a matematikai analízis alapelveit vizsgálja, konkrétan a függvények monotonitására és differenciálhatóságára vonatkozó teóriát. Azt kérdezi, hogy mi következik a függvény első származékának pozitivitásából és egyéb feltételekből.
Answer
A függvény szigorúan monoton növekvő, ha $f'(x) > 0$ bármely $x \in [a; b]$ esetén.
Answer for screen readers
A helyes állítás: Ha $f'(x) > 0$ bármely $x \in [a; b]$ esetén, akkor $f$ szigorúan monoton növekszik.
Steps to Solve
-
Vizsgáljuk a függvény első származékát A függvény $f$ folytonos és differenciálható az $[a; b]$ intervallumban. Azt állítjuk, hogy ha $f'(x) > 0$ bármely $x \in [a; b]$ esetén, akkor $f$ szigorúan monoton növekszik az intervallumon.
-
Monotonitás definíciója A szigorúan monoton növekvő függvényekre vonatkozó definíció szerint, ha $f'(x) > 0$ minden $x$-re az intervallumban, akkor $f(x_1) < f(x_2)$ bármely $x_1 < x_2$ esetén. Ez azt jelenti, hogy a függvény nem csökkenhet.
-
Második származék vizsgálata Ha létezik olyan $c \in [a; b]$, ahol $f''(c) > 0$, ez azt jelenti, hogy a függvény felfelé hajlik $c$ körül, de nem a monotóniát határozza meg a $f'(x)$ pozitivitása alapján.
-
Szigorú monotonitás Ahhoz, hogy $f$ szigorúan monoton növekedjen, elegendő a $f'(x) > 0$ feltétel teljesítése, a második származék nem szükséges ahhoz, hogy megállapítsuk a szigorú monotonitást.
A helyes állítás: Ha $f'(x) > 0$ bármely $x \in [a; b]$ esetén, akkor $f$ szigorúan monoton növekszik.
More Information
A függvények monotonitásának és differenciálhatóságának vizsgálata kulcsfontosságú a matematikai analízisben. A származékok segítenek a függvények viselkedésének meghatározásában, és a szigorú monotonitás biztosítja, hogy a függvény értékei egyediek egy adott intervallumban.
Tips
- Nem nézik meg alaposan a feltételeket: Fontos, hogy a $f'(x) > 0$ feltétel megerősítése mellett a második származékot nem kell figyelembe venni a szigorú monotonitás vizsgálatakor.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
