किसी माध्यम में दबाव की चाल v का प्रतिवर्तन E तथा घनत्व d पर निर्भर करती है। विभिन्न विधियों से माध्यम में दबाव की चाल का सब स्थापित कीजिए। किसी माध्यम में दबाव की चाल v का प्रतिवर्तन E तथा घनत्व d पर निर्भर करती है। विभिन्न विधियों से माध्यम में दबाव की चाल का सब स्थापित कीजिए।

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Understand the Problem

प्रश्न में किसी माध्यम में दवाब की चाल (v) की परिभाषा दी गई है, जिसमें ताप (E), घनत्व (d) आदि कई मापदंड शामिल हैं। इसको एक समीकरण के रूप में व्युत्पन्न करने के लिए भौतिक गुणों की आयामिक विश्लेषण का उपयोग किया गया है। यहाँ विभिन्न भौतिक मात्रा के लिए आयाम तत्वों का अध्ययन किया जा रहा है, और समीकरण के व्युत्पन्न करने में मदद की जा रही है।

Answer

$$ v = k \cdot E^{1/2} \cdot d^{-1/3} $$
Answer for screen readers

$$ v = k \cdot E^{1/2} \cdot d^{-1/3} $$

Steps to Solve

  1. शुरुआत में समीकरण स्थापित करना दवाब की चाल $v$ को ताप $E$ और घनत्व $d$ के रूप में परिभाषित किया गया है। हम यह लिख सकते हैं: $$ v \propto E^a \cdot d^b $$

  2. समीकरण को निरुपित करना इसको एक समीकरण के रूप में व्यक्त करते हैं: $$ v = k \cdot E^a \cdot d^b $$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।

  3. आयामों का विश्लेषण करना दवाब की चाल $v$ के आयाम $[M^0 L^1 T^{-1}]$, ताप $E$ के आयाम $[M^0 L^0 T^{-2}]$, और घनत्व $d$ के आयाम $[M L^{-3} T^0]$ हैं। समीकरण को आयामों के साथ लिखते हैं: $$ [M^0 L^1 T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-2}]^a \cdot [M L^{-3} T^0]^b $$

  4. आयामिक समीकरण बनाना समीकरण को आगे बढ़ाते हैं: $$ [M^0 L^1 T^{-1}] = [M^{0+a} L^{0-3b} T^{-2a}] $$

  5. आयामों के आधार पर समीकरण सेट करना अब, प्रत्येक आयाम से संबंधित समीकरण स्थापित करते हैं:

    • द्रव्यमान के लिए: $0 = a + b$
    • लम्बाई के लिए: $1 = -3b$
    • समय के लिए: $-1 = -2a$
  6. समीकरणों को हल करना समीकरणों को हल करते हैं ताकि $a$ और $b$ को प्राप्त कर सकें:

    • पहले समीकरण से $b = -\frac{1}{3}$
    • दूसरे समीकरण से $a = \frac{1}{2}$
  7. अंतिम समीकरण बनाना अब $a$ और $b$ के मानों को मूल समीकरण में पुनः स्थानापन्न करें: $$ v = k \cdot E^{1/2} \cdot d^{-1/3} $$ इस प्रकार, दवाब की चाल का अंतिम समीकरण प्राप्त होता है।

$$ v = k \cdot E^{1/2} \cdot d^{-1/3} $$

More Information

यह उत्तर हमें पता चलता है कि दवाब की चाल $v$ ताप $E$ और घनत्व $d$ पर निर्भर करती है। इस समीकरण में ताप का प्रभाव सकारात्मक है जबकि घनत्व का प्रभाव नकारात्मक है।

Tips

  • छात्रों द्वारा आयामों को समझते समय गलत वर्गीकरण करना।
  • समीकरणों को हल करते समय $a$ और $b$ के संकेतों में गलती करना।
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