Jemand behauptet: Beim Bremsen nimmt die Geschwindigkeit erst am Ende des Bremsweges deutlich ab. a) Bestimmen Sie s(t) und v(t) für a = -5 m/s² und v₀ = 12 m/s. b) Begründen Sie m... Jemand behauptet: Beim Bremsen nimmt die Geschwindigkeit erst am Ende des Bremsweges deutlich ab. a) Bestimmen Sie s(t) und v(t) für a = -5 m/s² und v₀ = 12 m/s. b) Begründen Sie mit Hilfe eines v-Diagramms die obige Aussage.
Understand the Problem
Die Frage bezieht sich darauf, die Funktionen s(t) und v(t) für eine beschleunigte Bewegung eines Fahrzeugs zu bestimmen und zu begründen, wie dies mit einem v-Diagramm zusammenhängt.
Answer
Die Funktionen sind $ s(t) = 12t - 2.5t^2 $ und $ v(t) = 12 - 5t $. Der Bremsweg ist $ 14.4 \, \text{m} $.
Answer for screen readers
Die Funktionen sind:
- $ s(t) = 12t - 2.5t^2 $
- $ v(t) = 12 - 5t $
Der Bremsweg beträgt $ 14.4 , \text{m} $.
Steps to Solve
- Bestimmen der Funktion s(t)
Für eine gleichmäßig verzögerte Bewegung verwenden wir die Formel für die Position: $$ s(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 $$ Hierbei ist $ v_0 = 12 , \text{m/s} $ und $ a = -5 , \text{m/s}^2 $. Setzen wir die Werte ein: $$ s(t) = 12t - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot t^2 $$
- Vereinfachen der Funktion s(t)
Nun berechnen wir den Ausdruck weiter: $$ s(t) = 12t - 2.5t^2 $$
- Bestimmen der Funktion v(t)
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Funktion für die Position $ s(t) $ nach der Zeit: $$ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = 12 - 5t $$
- Formulierung der Endgeschwindigkeit und Zeit
Um die Zeit zu bestimmen, zu der das Fahrzeug zum Stillstand kommt (wenn $ v(t) = 0 $): Setzen wir die Gleichung gleich null: $$ 0 = 12 - 5t $$ Damit berechnen wir: $$ 5t = 12 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{12}{5} = 2.4 , \text{s} $$
- Berechnung der maximalen Bremsweg s(t) zu diesem Zeitpunkt
Setzen wir $ t = 2.4 , \text{s} $ in die Funktion $ s(t) $ ein, um den Bremsweg zu finden: $$ s(2.4) = 12 \cdot 2.4 - 2.5 \cdot (2.4)^2 $$ Nun berechnen wir: $$ s(2.4) = 28.8 - 14.4 = 14.4 , \text{m} $$
Die Funktionen sind:
- $ s(t) = 12t - 2.5t^2 $
- $ v(t) = 12 - 5t $
Der Bremsweg beträgt $ 14.4 , \text{m} $.
More Information
Die Berechnung zeigt, wie die durchschnittliche Verzögerung eines Fahrzeugs die Bremswege beeinflusst. Ein schnelles Fahrzeug führt bei der gleichen Verzögerung zu längeren Bremswegen.
Tips
- Das Vorzeichen der Beschleunigung verwechseln: Bei Verzögerung muss die Beschleunigung negativ sein.
- Falsche Ableitung der Position zur Geschwindigkeit: Achten Sie darauf, die korrekte Ableitungen zu verwenden.
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