فرض کنید f(x) فقط برای مقادیر مثبت صحیح باشد و برای مقادیر x = 1، 2، ... رابطه f(x) = (4/x)f(x - 1) برقرار باشد. واریا نس X چه قدر است؟ فرض کنید f(x) فقط برای مقادیر مثبت صحیح باشد و برای مقادیر x = 1، 2، ... رابطه f(x) = (4/x)f(x - 1) برقرار باشد. واریا نس X چه قدر است؟
Understand the Problem
سوال درباره یک تابع است که تحت رابطه مشخصی تعریف شده است. باید مقدار X را پیدا کنیم وقتی که تابع f(x) با یک شرایط مشخص در ارتباط است.
Answer
تابع به صورت کلی $f(n) = 4^n \cdot \frac{C}{n!}$ برای $n \geq 1$ است.
Answer for screen readers
تابع به صورت کلی $f(n) = 4^n \cdot \frac{C}{n!}$ برای $n \geq 1$ در نظر گرفته می‌شود.
Steps to Solve
- تعریف تابع و شرط ابتدایی
ما تابع $f(x)$ را داریم که باید برای $x = 1, 2, \ldots$ تعریف شود. همچنین داریم:
$$ f(x) = \frac{4}{x} f(x-1) $$
این رابطه را در تمامی مراحل محاسبات استفاده خواهیم کرد.
- محاسبه مقداری برای $f(1)$
برای محاسبه مقدار، از Tiny زنجیره ای $f(x)$ شروع می کنیم. برای $x = 1$ داریم:
$$ f(1) = \frac{4}{1} f(0) = 4 f(0) $$
در اینجا $f(0)$ فقط یک مقدار مرزی است و باید بدانیم که آن چیست. فرض ما این است که $f(0) = C$ (یک مقدار ثابت).
- محاسبه برای x = 2
حالا برای $x = 2$ می نویسیم:
$$ f(2) = \frac{4}{2} f(1) = 2 f(1) = 2(4C) = 8C $$
- محاسبه برای x = 3
برای $x = 3$ داریم:
$$ f(3) = \frac{4}{3} f(2) = \frac{4}{3} (8C) = \frac{32C}{3} $$
- تحلیل الگوی تابع
با استفاده از این روش می‌توانیم به راحتی به دیگر مقادیر $f(x)$ دسترسی پیدا کنیم و به الگوی آن پی ببریم. اگر به الگو دقت کنیم، مقدار عددی تابع برای $n$ تکرار افزایش می‌یابد.
- بسط الگو
تعمیم دادن این رابطه می‌تواند ارزشمند باشد. بنابراین فرض می‌کنیم:
$$ f(n) = k_n C $$
که در آن $k_n$ برای هر $n$ محاسبه می‌شود، و می‌توانیم از آن برای سایر مقادیر استفاده کنیم.
تابع به صورت کلی $f(n) = 4^n \cdot \frac{C}{n!}$ برای $n \geq 1$ در نظر گرفته می‌شود.
More Information
در این پاسخ، تابع به کمک روش تکرار محاسبه شده است. با توجه به این که شرایط تابع بر روی اعداد صحیح مثبت است، مقدار اولیه $C$ تأثیرگذار خواهد بود.
Tips
- نادیده گرفتن مقدار مرزی $f(0)$ که می‌تواند در گام‌های بعدی مشکل ایجاد کند.
- فراموش کردن تغییرات نرمال در تعریف تابع برای مقادیر بزرگتر.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
