فرض کنید فقط برای مقادیر مثبت صحیح باشد و برای مقادیر x = 1, 2, ... رابطه f(x) = 4/x * f(x - 1) برقرار باشد. وارینس X چه قدر است؟ فرض کنید فقط برای مقادیر مثبت صحیح باشد و برای مقادیر x = 1, 2, ... رابطه f(x) = 4/x * f(x - 1) برقرار باشد. وارینس X چه قدر است؟ Read more

Steps to Solve

1. نوشتن رابطه برای $f(x)$

با توجه به رابطه داده شده:

$$ f(x) = \frac{4}{x} f(x - 1) $$

می‌توانیم $f(x)$ را برای مقادیر مختلف $x$ محاسبه کنیم.

2. محاسبه مقادیر $f(x)$

بیایید شروع کنیم با مقدار اولیه:

• برای $x = 1$:

$$ f(1) = \frac{4}{1} f(0) $$

فرض کنید $f(0) = c$، بنابراین:

$$ f(1) = 4c $$

• برای $x = 2$:

$$ f(2) = \frac{4}{2} f(1) = 2 \cdot (4c) = 8c $$

• برای $x = 3$:

$$ f(3) = \frac{4}{3} f(2) = \frac{4}{3} \cdot 8c = \frac{32}{3} c $$

3. الگوی کلی

بعد از محاسبات، می‌توانیم مشاهده کنیم که الگوی عمومی برای $f(x)$ به صورت زیر است:

$$ f(x) = \frac{4^x}{x!} c $$

4. محاسبه امید ریاضیات $E[X]$

برای محاسبه امید ریاضیات، باید به توزیع توجه کنیم. فرض کنید $P(X=x) \propto f(x)$، بنابراین:

$$ P(X=x) = \frac{f(x)}{\sum_{k=1}^{\infty} f(k)} = \frac{\frac{4^x}{x!} c}{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4^k}{k!} c} = \frac{4^x}{x! \cdot e^4} $$

5. محاسبه وارینس $Var(X)$

وارینس به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $$

ابتدا باید $E[X]$ و $E[X^2]$ را محاسبه کنیم.

$$ E[X] = \sum_{x=1}^{\infty} x \cdot P(X=x) = \sum_{x=1}^{\infty} x \cdot \frac{4^x}{x! \cdot e^4} $$

این سری برابر با:

$$ E[X] = \frac{4}{e^4} e^4 = 4 $$

و

$$ E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty} x^2 \cdot P(X=x) = \sum_{x=1}^{\infty} x^2 \cdot \frac{4^x}{x! \cdot e^4} $$

با استفاده از رابطه‌ای مشابه، خواهیم داشت:

$$ E[X^2] = 20 $$

بنابراین وارینس به دست می‌آید:

$$ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 20 - 16 = 4 $$