Φ. Λέξεις 133/ΑΚ 9: 1. Καθορίστε τη συνέχεια της f(x) = 1/x, x ∈ R; 2. f(x) = x^2 - 2x + 3 και προσδιορίστε τη συμπεριφορά της f(x) στο R. Φ. Λέξεις 133/ΑΚ 9: 1. Καθορίστε τη συνέχεια της f(x) = 1/x, x ∈ R; 2. f(x) = x^2 - 2x + 3 και προσδιορίστε τη συμπεριφορά της f(x) στο R.
Understand the Problem
Το ερώτημα φαίνεται να ζητάει να επιλύσουμε ένα πρόβλημα που σχετίζεται με συναρτήσεις, ειδικότερα με το πώς οι συναρτήσεις συμπεριφέρονται κάτω από ορισμένες συνθήκες ή περιορισμούς. Θα εστιάσουμε στη ανάλυση των παραγόντων που αφορούν τη συνέχεια και τη συμπεριφορά των συναρτήσεων.
Answer
Η $f(x)$ είναι συνεχής στα διαστήματα $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}, +\infty)$.
Answer for screen readers
Η $f(x)$ είναι συνεχής μόνο στα διάστημα $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, \frac{3}{2})$, και $(\frac{3}{2}, +\infty)$.
Steps to Solve
-
Διαφορετικοί τύποι συναρτήσεων Η συνάρτηση $f(x)$ διαμορφώνεται ως εξής: $$ f(x) = \begin{cases} -x^2 - 3x & \text{αν } x < -3 \ 1 & \text{αν } -3 \leq x < 0 \ -x & \text{αν } 0 \leq x < \frac{3}{2} \ 6 & \text{αν } x \geq \frac{3}{2} \end{cases} $$ Αναλύουμε τις τιμές της $f(x)$ σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα.
-
Έλεγχος συνέχειας Για να ελέγξουμε αν η $f(x)$ είναι συνεχής, πρέπει να ελέγξουμε τα όρια στις κοιλιές (συνθήκες) της συναρτήσεως:
- Στο σημείο $x = -3$: $$ \lim_{x \to -3^-} f(x) = -(-3)^2 - 3(-3) = 6 $$ $$ \lim_{x \to -3^+} f(x) = 1 $$ Άρα, η $f(x)$ δεν είναι συνεχής στο $x = -3$.
- Νέοι έλεγχοι συνέχειας Για τα όρια στα σημεία αυξήσεων:
- Στο σημείο $x = 0$: $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 $$ $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 $$ Πάλι, η $$f(x)$$ δεν είναι συνεχής εδώ.
- Στο σημείο $x = \frac{3}{2}$: $$ \lim_{x \to \left( \frac{3}{2} \right)^-} f(x) = -\frac{3}{2} $$ $$ \lim_{x \to \left( \frac{3}{2} \right)^+} f(x) = 6 $$ Οπότε, η $$f(x)$$ δεν είναι συνεχής και σε αυτό το σημείο.
- Συμπεράσματα για την συνέχεια Η συνάρτηση $f(x)$ είναι συνεχής στα διαστήματα όπου δεν υπάρχουν τα κρίσιμα σημεία, δηλαδή:
- Στις ανοικτές περιοχές $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, \frac{3}{2})$, και $(\frac{3}{2}, +\infty)$.
Η $f(x)$ είναι συνεχής μόνο στα διάστημα $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, \frac{3}{2})$, και $(\frac{3}{2}, +\infty)$.
More Information
Η ανάλυση συνέχειας των συναρτήσεων είναι σημαντική στη μαθηματική ανάλυση και έχει εφαρμογές σε διάφορους τομείς, όπως στη φυσική και την οικονομία. Ειδικά, η έρευνα στα σημεία ασυνέχειας μπορεί να δείξει σημαντικά γεγονότα για τη συμπεριφορά των συναρτήσεων.
Tips
- Ξεχνώντας να ελέγξουμε όρια από αριστερά και δεξιά για τις συνθήκες ασυνέχειας.
- Παραλείποντας να παρατηρήσουμε το διάστημα ορισμού της κάθε συνάρτησης.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
