Ermitteln Sie die Inverse von A = (2 3 1 1 2 -1 2 1 2).

Steps to Solve

1. Bestimme die Determinante

Um die Inverse einer Matrix zu finden, muss zuerst die Determinante berechnet werden. Für die Matrix $A$ gilt:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \ 1 & 2 & -1 \ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Die Determinante ist gegeben durch:

$$ \text{det}(A) = 2(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - 3(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) + 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) $$

2. Berechne die Determinante

Setze die Werte in die Determinante ein:

$$ \text{det}(A) = 2(4 + 1) - 3(2 + 2) + 1(1 - 4) $$

Dies ergibt:

$$ \text{det}(A) = 2(5) - 3(4) + 1(-3) = 10 - 12 - 3 = -5 $$

3. Finde die Adjunkte

Nun berechnen wir die Adjunkte der Matrix $A$, was die Transponierte der Kofaktormatrix ist. Berechne die Kofaktoren $C_{ij}$ und bilde die Matrix:

$$ C = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \ C_{21} & C_{22} & C_{23} \ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} $$

Die Kofaktoren werden berechnet durch:

• $C_{11} = \text{det}\begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} = 4 + 1 = 5$
• $C_{12} = -\text{det}\begin{pmatrix} 1 & -1 \ 2 & 2 \end{pmatrix} = -2 + 2 = 0$
• $C_{13} = \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 4 = -3$

Und so weiter für die anderen Kofaktoren.

4. Adjunkte aufstellen und transponieren

Die Adjunkte ist:

$$ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -3 \ 1 & 2 & 5 \ -5 & -4 & 0 \end{pmatrix} $$

Jetzt transponieren wir die Matrix:

$$ \text{adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -5 \ 0 & 2 & -4 \ -3 & 5 & 0 \end{pmatrix} $$

5. Berechne die Inverse

Die Inverse der Matrix $A$ wird mit folgender Formel gefunden:

$$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)^T $$

Setze die Werte ein:

$$ A^{-1} = \frac{1}{-5} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 1 & -5 \ 0 & 2 & -4 \ -3 & 5 & 0 \end{pmatrix} $$

6. Schreibe das Endergebnis

Die Inverse von $A$ lautet:

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{5} & 1 \ 0 & -\frac{2}{5} & \frac{4}{5} \ \frac{3}{5} & -1 & 0 \end{pmatrix} $$