Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x^2 + 4x + 4 e y = -2x^2 - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o métod... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x^2 + 4x + 4 e y = -2x^2 - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o método dos discos.
Understand the Problem
A questão está pedindo que encontremos a integral que calcula o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada por duas curvas em torno do eixo y, utilizando o método dos discos.
Answer
A integral para o volume é: $$ V = \pi \int_{y_{1}}^{y_{2}} [(4 + 4 + \sqrt{-\frac{y + 5}{2}})^2 - (4 - \sqrt{y - 4} - 2)^2] dy $$
Answer for screen readers
A integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo $y = 4$ é: $$ V = \pi \int_{y_{1}}^{y_{2}} [(4 + 4 + \sqrt{-\frac{y + 5}{2}})^2 - (4 - \sqrt{y - 4} - 2)^2] dy $$
Steps to Solve
- Definindo as funções As funções são dadas por:
- $y_1 = x^2 + 4x + 4$
- $y_2 = -2x^2 - 8x - 5$
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Determinando os pontos de interseção Precisamos encontrar os pontos onde as curvas se encontram, resolvendo a equação: $$ x^2 + 4x + 4 = -2x^2 - 8x - 5 $$
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Rearranjando a equação Simplificamos a equação: $$ 3x^2 + 12x + 9 = 0 $$
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Fatorando ou utilizando a fórmula quadrática Fatoramos a equação ou aplicamos a fórmula quadrática: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ onde $a = 3, b = 12, c = 9$.
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Encontrando os valores de x Calculamos os valores de $x$ para determinar os limites da integral. Os valores obtidos são: $$ x = -1 \text{ e } x = -3 $$
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Expressando as funções em relação a y Para aplicar o método dos discos, expressamos $x$ em função de $y$: $$ y_1 = (x + 2)^2 \implies x = \sqrt{y - 4} - 2 $$
$$ y_2 = -2(x + 4)^2 \implies x = -4 - \sqrt{-\frac{y + 5}{2}} $$
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Calculando o volume usando a fórmula do método dos discos A fórmula para o volume $V$ em relação a $y$ em torno do eixo $y = 4$ é dada por: $$ V = \pi \int_{y_1}^{y_2} [(r_{ext})^2 - (r_{int})^2] dy $$ onde $r_{ext} = 4 - x_{2}(y)$ e $r_{int} = 4 - x_{1}(y)$.
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Definindo os limites de integração Precisamos determinar os limites de integração para $y$ correspondentes aos pontos de interseção encontradas nas funções.
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Colocando a integral na forma final Substituímos os raios e os limites na integral: $$ V = \pi \int_{y_{1}}^{y_{2}} [(4 - x_{2}(y))^2 - (4 - x_{1}(y))^2] dy $$
A integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo $y = 4$ é: $$ V = \pi \int_{y_{1}}^{y_{2}} [(4 + 4 + \sqrt{-\frac{y + 5}{2}})^2 - (4 - \sqrt{y - 4} - 2)^2] dy $$
More Information
Esta integral calculará o volume do sólido gerado pela rotação das regiões entre as duas curvas mencionadas. A técnica do método dos discos permite calcular volumes de sólidos de revolução de maneira eficaz.
Tips
- Erros ao calcular os pontos de interseção: Assegure-se de que todos os termos e sinais estejam corretos ao resolver a equação.
- Não converter as funções em relação a y corretamente: Isso é fundamental para aplicar o método dos discos.
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