Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 2x + 1 e y = -3x² - 6x + 13 em torno do eixo x = -4 usando o métod... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 2x + 1 e y = -3x² - 6x + 13 em torno do eixo x = -4 usando o método das cascas.
Understand the Problem
A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região delimitada por duas curvas em torno de um eixo, utilizando o método das cascas. O usuário deve escolher uma das opções de integrais apresentadas que representa o volume desejado.
Answer
$$ 2\pi \int_{-3}^{1} (x + 4)(-4x^2 - 8x + 12) \, dx $$
Answer for screen readers
A integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é:
$$ 2\pi \int_{-3}^{1} (x + 4)(-4x^2 - 8x + 12) , dx $$
Steps to Solve
- Determinar as curvas e limites de integração
As curvas dadas são $y = x^2 + 2x + 1$ e $y = -3x^2 - 6x + 13$. Precisamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração.
- Encontrar os pontos de interseção
Igualamos as duas equações:
$$ x^2 + 2x + 1 = -3x^2 - 6x + 13 $$
Reorganizando a equação, obtemos:
$$ 4x^2 + 8x - 12 = 0 $$
- Resolver a equação quadrática
Dividimos todos os termos por 4:
$$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$
Fatorando, encontramos:
$$ (x + 3)(x - 1) = 0 $$
Portanto, os pontos de interseção são (x = -3) e (x = 1).
- Compreender a rotação em torno de uma linha vertical
Para aplicar o método das cascas, consideramos a região entre as curvas em relação ao eixo (x = -4). A fórmula do volume por cascas é:
$$ V = 2\pi \int_{a}^{b} (distância , do , eixo) \cdot (altura) , dx $$
- Determinar a distância do eixo de rotação
A distância do eixo (x = -4) para um ponto (x) é dada por:
$$ distância = x - (-4) = x + 4 $$
- Definir a altura da casca
A altura da casca é a diferença entre as duas funções:
$$ altura = (curva , superior) - (curva , inferior) = (-3x^2 - 6x + 13) - (x^2 + 2x + 1) $$
Simplificando:
$$ altura = -4x^2 - 8x + 12 $$
- Montar a integral final
Substituindo na fórmula do volume, a integral para o volume do sólido é:
$$ V = 2\pi \int_{-3}^{1} (x + 4)(-4x^2 - 8x + 12) , dx $$
- Selecionar a opção correta
Com base na integral montada, identificaremos qual das opções apresentadas corresponde à integral correta.
A integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é:
$$ 2\pi \int_{-3}^{1} (x + 4)(-4x^2 - 8x + 12) , dx $$
More Information
Este tipo de problema usa o método das cascas para determinar o volume de sólidos de revolução. O eixo de rotação que não é uma linha coordenada clássica pode complicar o cálculo, mas o método ainda é aplicável.
Tips
- Confundir as curvas: É comum confundir qual curva é a superior e qual é a inferior.
- Erro nos limites de integração: Sempre certifique-se de que os limites estão corretos, baseando-se nos pontos de interseção.
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