Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² - 2x + 1 e y = -2x² + 4x + 10 em torno do eixo y = -3 usando o métod... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² - 2x + 1 e y = -2x² + 4x + 10 em torno do eixo y = -3 usando o método dos discos.
Understand the Problem
A pergunta está pedindo para encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por duas curvas em torno do eixo y = -3, usando o método dos discos.
Answer
$$ V = \pi \int_{0}^{12} \left[ \left( \sqrt{12 - y} + 3 \right)^2 - \left( \sqrt{y} + 4 \right)^2 \right] \, dy $$
Answer for screen readers
A integral que calcula o volume do sólido é: $$ V = \pi \int_{0}^{12} \left[ \left( \sqrt{12 - y} + 3 \right)^2 - \left( \sqrt{y} + 4 \right)^2 \right] , dy $$
Steps to Solve
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Identificar as curvas Primeiro, identificamos as duas curvas que delimitam a região. Elas são $y = x^2 - 2x + 1$ e $y = -2x^2 + 4x + 10$.
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Encontrar os pontos de interseção Igualamos as duas funções para encontrar os pontos onde se interceptam. Resolvemos a equação: $$ x^2 - 2x + 1 = -2x^2 + 4x + 10 $$ Isso se simplifica para: $$ 3x^2 - 6x - 9 = 0 $$ Fatorando, obtemos: $$ 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 $$ Portanto, os pontos de interseção são $x = -1$ e $x = 3$.
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Definir a integral para o volume O volume gerado pela rotação em torno da linha $y = -3$ usando o método dos discos é dado pela fórmula: $$ V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) , dy $$ onde $R$ é a distância da curva superior até a linha de rotação e $r$ é a distância da curva inferior até a linha de rotação.
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Definir os limites da integral Os limites da integral em relação a $y$ serão de $0$ a $12$, pois essas são as alturas das curvas no domínio que estamos considerando.
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Definir $R$ e $r$ Para $y = -2x^2 + 4x + 10$ (curva superior): $$ R = \left( -2 + 3 \right) = \sqrt{12 - y} $$ Para $y = x^2 - 2x + 1$ (curva inferior): $$ r = \left( -\sqrt{y} + 1 + 3 \right) = \sqrt{y} + 4 $$
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Montando a integral Substituímos $R$ e $r$ na fórmula do volume: $$ V = \pi \int_{0}^{12} \left[ \left( \sqrt{12 - y} + 3 \right)^2 - \left( \sqrt{y} + 4 \right)^2 \right] , dy $$
A integral que calcula o volume do sólido é: $$ V = \pi \int_{0}^{12} \left[ \left( \sqrt{12 - y} + 3 \right)^2 - \left( \sqrt{y} + 4 \right)^2 \right] , dy $$
More Information
Essa integral utiliza o método dos discos, que é uma forma comum de calcular volumes gerados pela rotação de figuras em torno de eixos. A rotação em torno de um eixo fora da região exige o cuidado com a adição da distância até essa linha de rotação.
Tips
- Erro ao calcular os pontos de interseção: É importante revisar a resolução da equação para garantir que os pontos de interseção estão corretos.
- Misturar as curvas superior e inferior: Ao definir $R$ e $r$, é vital garantir que $R$ corresponde à curva acima e $r$ à curva abaixo.
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