Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 4x + 4 e y = -2x² - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o método... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 4x + 4 e y = -2x² - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o método dos discos.
Understand the Problem
A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido gerado pela rotação da área delimitada por duas curvas em torno do eixo y, utilizando o método dos discos.
Answer
$$ V = \pi \int_{-3}^{-1} \left[ (2x^2 + 8x + 9)^2 - (-x^2 - 4x)^2 \right] \, dx $$
Answer for screen readers
A integral que calcula o volume é: $$ V = \pi \int_{-3}^{-1} \left[ (2x^2 + 8x + 9)^2 - (-x^2 - 4x)^2 \right] , dx $$
Steps to Solve
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Identificar as curvas As funções dadas são ( y = x^2 + 4x + 4 ) e ( y = -2x^2 - 8x - 5 ). Vamos escrever cada função na forma que facilita a rotação em torno do eixo ( y = 4 ).
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Encontrar os pontos de interseção Precisamos encontrar os valores de ( x ) onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações: $$ x^2 + 4x + 4 = -2x^2 - 8x - 5 $$ Resolvendo: $$ 3x^2 + 12x + 9 = 0 $$
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Resolver a equação quadrática Podemos dividir a equação por 3: $$ x^2 + 4x + 3 = 0 $$ Agora, fatoramos: $$ (x + 1)(x + 3) = 0 $$ Os pontos de interseção são ( x = -1 ) e ( x = -3 ).
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Determinar as funções a serem integradas Para aplicar o método dos discos, precisamos determinar a distância do eixo ( y = 4 ) até as funções. A curva superior é ( y = -2x^2 - 8x - 5 ) e a curva inferior é ( y = x^2 + 4x + 4 ).
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Definir a integral A integral para calcular o volume é dada por: $$ V = \pi \int_{-3}^{-1} \left[ \text{(raio externo)}^2 - \text{(raio interno)}^2 \right] , dx $$ Com os raios sendo:
- Raio externo: ( 4 - (-2x^2 - 8x - 5) = 4 + 2x^2 + 8x + 5 = 2x^2 + 8x + 9 )
- Raio interno: ( 4 - (x^2 + 4x + 4) = 4 - x^2 - 4x - 4 = -x^2 - 4x )
- Montar a integral final Portanto, a integral que representa o volume é: $$ V = \pi \int_{-3}^{-1} \left[ (2x^2 + 8x + 9)^2 - (-x^2 - 4x)^2 \right] , dx $$
A integral que calcula o volume é: $$ V = \pi \int_{-3}^{-1} \left[ (2x^2 + 8x + 9)^2 - (-x^2 - 4x)^2 \right] , dx $$
More Information
Esta integral representa o volume do sólido gerado ao girar a região delimitada pelas duas curvas ao redor da linha ( y = 4 ). O uso do método dos discos permite calcular volumes de sólidos de revolução efetivamente.
Tips
- Erro ao encontrar pontos de interseção: Sempre verifique se os pontos de interseção estão corretos.
- Confusão nas funções de raio: Lembre-se de que os raios devem sempre ser a distância entre o ponto da função e a linha de rotação.
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