Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo x = 2 u... Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo x = 2 usando o Método das Cascas.
Understand the Problem
A pergunta está pedindo para encontrar a integral que irá calcular o volume do sólido de revolução formado ao girar uma região delimitada por certas curvas. As equações das curvas são fornecidas, e o método a ser utilizado é o Método das Cascas.
Answer
A integral para o volume é $$ V = 2\pi \int_{0}^{b} (2 - x)\left(-\frac{x}{2} - x^3\right) \, dx $$
Answer for screen readers
A integral que calcula o volume do sólido de revolução é: $$ V = 2\pi \int_{0}^{b} (2 - x)\left(-\frac{x}{2} - x^3\right) , dx $$
Steps to Solve
- Identificar as curvas e a região de integração
As curvas dadas são:
- $y = x^3 + 1$
- $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$
- $y = -\frac{x}{2} + 1$
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar a região delimitada a ser girada.
- Encontrar os pontos de interseção
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as funções duas a duas.
Primeiro, entre $y = x^3 + 1$ e $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$: [ x^3 + 1 = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \implies x^3 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = 0 ]
Segundo, entre $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ e $y = -\frac{x}{2} + 1$: [ \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{x}{2} + 1 \implies x = 0 ]
E, entre $y = -\frac{x}{2} + 1$ e $y = x^3 + 1$: [ -\frac{x}{2} + 1 = x^3 + 1 \implies -\frac{x}{2} - x^3 = 0 \implies x(-2 - 2x^2) = 0 ]
Os pontos de interseção encontrados são $x = 0$ e outros que podem ser calculados numericamente. Vamos usar os valores de x dos pontos de interseção.
- Determinar o volume usando o Método das Cascas
A fórmula do volume $V$ usando o Método das Cascas é dada por: [ V = 2\pi \int_{a}^{b} (r)(h) , dx ] onde:
- $r$ é a distância do eixo de rotação, neste caso, $2 - x$.
- $h$ é a altura da casca, dada pela diferença entre as funções $y_{\text{superior}}$ e $y_{\text{inferior}}$.
As funções superiores e inferiores dependem do intervalo em que estamos integrando, que será determinado pelos pontos de interseção.
- Escrever a integral para o volume
Com $r = 2 - x$ e $h = \left(-\frac{x}{2} + 1\right) - \left(x^3 + 1\right)$ para o intervalo de integração que você determinar, a integral que representa o volume é: [ V = 2\pi \int_{a}^{b} (2 - x)\left(-\frac{x}{2} - x^3\right) , dx ]
A integral que calcula o volume do sólido de revolução é: $$ V = 2\pi \int_{0}^{b} (2 - x)\left(-\frac{x}{2} - x^3\right) , dx $$
More Information
O volume resultante é obtido ao calcular a integral acima, levando em consideração os limites de integração de acordo com os pontos de interseção das curvas. O Método das Cascas é útil para calcular volumes de sólidos de revolução quando a região é rotacionada em torno de um eixo.
Tips
- Ignorar a ordem das funções ao calcular a altura $h$ das cascas.
- Não determinar corretamente os limites de integração, que precisam ser baseados nos pontos de interseção.
- Confundir a distância até o eixo de rotação.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
