ejercicios de identidades trigonométricas

Understand the Problem

La pregunta está solicitando ejercicios relacionados con identidades trigonométricas, lo que implica que el usuario busca practicar o entender mejor este tema. Para abordar esta solicitud, se podría proporcionar ejemplos de ejercicios que involucren la verificación o simplificación de identidades trigonométricas.

Answer

La identidad está comprobada: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.
Answer for screen readers

La identidad $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ es verdadera para todos los valores de $x$.

Steps to Solve

  1. Identificar las identidades trigonométricas relevantes

Primero, es importante saber cuáles son las principales identidades trigonométricas que necesitas. Algunas de las más comunes incluyen:

  • $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
  • $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$
  • $1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$
  1. Escoger un ejemplo de identidad trigonométrica para practicar

Elige una identidad que quieras comprobar. Por ejemplo, supón que deseas verificar la identidad $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

  1. Sustitución de valores

Puedes verificar la identidad sustituyendo valores específicos de $x$. Por ejemplo, usa $x = 0$:

  • $\sin(0) = 0$ y $\cos(0) = 1$.

Entonces, verifica: $$\sin^2(0) + \cos^2(0) = 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$$

  1. Analizar diferentes ángulos

Prueba la identidad con otros valores de $x$, como $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{\pi}{4}$, para asegurarte de que la identidad es cierta:

  • Para $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ y $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. $$\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$$

  • Para $x = \frac{\pi}{4}$: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

  1. Conclusión sobre la identidad

Si la igualdad se mantiene para varios valores de $x$, puedes concluir que la identidad está comprobada.

La identidad $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ es verdadera para todos los valores de $x$.

More Information

La identidad trigonométrica $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ es fundamental en trigonometría y se utiliza frecuentemente en diversas áreas de matemáticas, física y ingeniería.

Tips

  • Olvidar los ángulos especiales: Asegúrate de comprobar la identidad con varios ángulos, incluidos aquellos en los que el seno y el coseno son fáciles de calcular.
  • Errores en el cálculo: Comprobar los cálculos de los valores de seno y coseno, especialmente al manejar fracciones.
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