ejercicios de identidades trigonométricas

Steps to Solve

1. Identificar las identidades trigonométricas relevantes

Primero, es importante saber cuáles son las principales identidades trigonométricas que necesitas. Algunas de las más comunes incluyen:

• $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
• $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$
• $1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$

2. Escoger un ejemplo de identidad trigonométrica para practicar

Elige una identidad que quieras comprobar. Por ejemplo, supón que deseas verificar la identidad $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

3. Sustitución de valores

Puedes verificar la identidad sustituyendo valores específicos de $x$. Por ejemplo, usa $x = 0$:

• $\sin(0) = 0$ y $\cos(0) = 1$.

Entonces, verifica: $$\sin^2(0) + \cos^2(0) = 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$$

4. Analizar diferentes ángulos

Prueba la identidad con otros valores de $x$, como $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{\pi}{4}$, para asegurarte de que la identidad es cierta:

• Para $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ y $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. $$\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$$

• Para $x = \frac{\pi}{4}$: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

5. Conclusión sobre la identidad

Si la igualdad se mantiene para varios valores de $x$, puedes concluir que la identidad está comprobada.