دو تاس سالم را آن‌قدر پرتاب می‌کنیم تا برای اولین بار مجموع ۷ ظاهر شود. احتمال این‌که تعداد پرتاب‌های لازم عدد فرد باشد، برابر است با دو تاس سالم را آن‌قدر پرتاب می‌کنیم تا برای اولین بار مجموع ۷ ظاهر شود. احتمال این‌که تعداد پرتاب‌های لازم عدد فرد باشد، برابر است با Read more

Steps to Solve

1. تعیین متغیر تصادفی به عنوان اولین گام، متغیر تصادفی $X$ را به عنوان تعداد پرتاب‌های لازم برای رسیدن به مجموع ۷ تعریف می‌کنیم.

2. تحلیل فضای احتمال برای هر پرتاب دو تاس، مجموع ممکن است از ۲ تا ۱۲ باشد. مجموع ۷ شامل ترکیبات زیر است:

• $(1, 6)$
• $(2, 5)$
• $(3, 4)$
• $(4, 3)$
• $(5, 2)$
• $(6, 1)$

در نتیجه، ۶ حالت برای مجموع ۷ وجود دارد.

3. محاسبه احتمال دستیابی به مجموع ۷ احتمال دستیابی به مجموع ۷ برای یک پرتاب دو تاس به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ P(X = 7) = \frac{\text{تعداد حالت‌های موفق}}{\text{تعداد کل حالت‌ها}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

4. تعیین احتمال تشکیل عدد فرد احتمال وقوع تعداد پرتاب‌های لازم برابر با احتمال $1$، $3$، $5$ و غیره است. ما می‌خواهیم بدانیم احتمال اینکه تعداد پرتاب‌ها فرد باشد چقدر است.

5. محاسبه نهایی احتمال با توجه به مستقل بودن پرتاب‌ها، برای محاسبه احتمال کار با متغیر تصادفی و روی احتمال موفقیت در مجموع ۷ باید از توزیع ژئومتریک استفاده کنیم. احتمال فرد بودن تعداد پرتاب‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ P(\text{odd}) = P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) + \ldots $$

با جایگذاری در فرمول التیاجی و محاسبه مشاهده‌ می‌شود که این احتمال از مجموع توزیع ژئومتریک گرفته شده است.