Déterminer le maximum absolu et le minimum absolu de la fonction g(x) = x² - 2|x| + 1, définie sur l'intervalle fermé [-2, 3].

Steps to Solve

1. Analyser la fonction

Nous avons la fonction $g(x) = x^2 - 2|x| + 1$. Pour la simplifier, nous devons considérer deux cas pour $|x|$ :

• Si $x \geq 0$, alors $|x| = x$ et $g(x) = x^2 - 2x + 1$.
• Si $x < 0$, alors $|x| = -x$ et $g(x) = x^2 + 2x + 1$.

2. Calculer les points critiques

Pour chaque cas, nous allons calculer la dérivée $g'(x)$ et trouver les points critiques.

• Pour $x \geq 0$ : $$ g'(x) = 2x - 2 $$ Pour trouver les points critiques, nous posons $g'(x) = 0$ : $$ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 $$

• Pour $x < 0$ : $$ g'(x) = 2x + 2 $$ Posons $g'(x) = 0$ : $$ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 $$

3. Evaluer la fonction aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle

Nous devons évaluer $g(x)$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle $[-2, 3]$ :

• $g(-2)$ : $$ g(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + 1 = 4 + (-4) + 1 = 1 $$

• $g(-1)$ : $$ g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $$

• $g(1)$ : $$ g(1) = (1)^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $$

• $g(3)$ : $$ g(3) = (3)^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4 $$

4. Déterminer le maximum et le minimum

Nous avons les valeurs suivantes de $g(x)$ :

• $g(-2) = 1$
• $g(-1) = 0$
• $g(1) = 0$
• $g(3) = 4$

Le maximum absolu sur l'intervalle est $g(3) = 4$ et le minimum absolu est $g(-1) = 0$.