Déterminer la variation de l'énergie interne, le travail de compression et la quantité de chaleur échangée pour 3 kg d'air lors des trois cas suivants : 1. Compression isotherme. 2... Déterminer la variation de l'énergie interne, le travail de compression et la quantité de chaleur échangée pour 3 kg d'air lors des trois cas suivants : 1. Compression isotherme. 2. Compression adiabatique. 3. Compression polytropique (n = 1,3).
Understand the Problem
La question demande de déterminer la variation de l'énergie interne, le travail de compression et la quantité de chaleur échangée lors de l'évolution de 3 kg d'air lors de trois types de compression : isotherme, adiabatique et polytropique (n = 1,3). Cela implique de calculer ces valeurs thermodynamiques en utilisant les propriétés de l'air comme gaz parfait.
Answer
La variation de l'énergie interne pour la compression isotherme est $U_2 = 628,386 \, \text{J}$, pour la compression adiabatique $U_2 \approx 2,513,040.8 \, \text{J}$ et pour la compression polytropique, calculez $U_2$ avec $C_v$.
Answer for screen readers
- Variation d'énergie interne :
- Isotherme : $U_2 = 628,386 , \text{J}$
- Adiabatique : $U_2 \approx 2,513,040.8 , \text{J}$
- Polytropique : Calcul à partir de la formule mentionnée ci-dessus.
- Travail :
- Isotherme : À calculer.
- Adiabatique : À calculer.
- Polytropique : À calculer.
- Chaleur échangée :
- Isotherme : $Q = \Delta U + W$
- Adiabatique : $Q = \Delta U + W$
- Polytropique : $Q = \Delta U + W$
Steps to Solve
- Convertir la température initiale en Kelvin
La température initiale est de 20 °C. Pour convertir en Kelvin, utilisez la formule suivante : $$ T_1 = 20 + 273.15 = 293.15 \text{ K} $$
- Déterminer l'énergie interne initiale (U1)
L'énergie interne d'un gaz parfait est donnée par : $$ U = m \cdot C_v \cdot T $$ où $C_v$ est la capacité calorifique à volume constant. Pour 3 kg d'air : $$ U_1 = 3 , \text{kg} \cdot 714 , \text{J/kg K} \cdot 293.15 \text{ K} = 628,386 , \text{J} $$
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Calculer l'énergie interne finale (U2) pour chaque type de compression :
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Compression isotherme (température constante) : $$ U_2 = U_1 $$ Donc, $U_2 = 628,386 , \text{J}$.
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Compression adiabatique : La relation pour $U_2$ est : $$ U_2 = U_1 + m \cdot C_v (T_2 - T_1) $$ Pour cela, il faut définir $T_2$. Utilisons la relation entre Pression et Température : $$ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{P_2 \cdot T_1}{P_1} = \frac{10 , \text{bar} \cdot 293.15 , \text{K}}{2 , \text{bar}} = 1465.75 , \text{K} $$ Donc : $$ U_2 = 3 \cdot 714 \cdot (1465.75 - 293.15) = 3 \cdot 714 \cdot 1172.6 \approx 2,513,040.8 , \text{J} $$
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Compression polytropique (n = 1.3) : Utilisons la relation des volumes : $$ T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{(n-1)}{n}} $$ Donc : $$ T_2 = 293.15 \cdot \left(\frac{10}{2}\right)^{\frac{(1.3 - 1)}{1.3}} = 293.15 \cdot (5)^{\frac{0.3}{1.3}} \approx 493.03 , \text{K} $$ Ensuite, calculez $U_2$ : $$ U_2 = U_1 + m \cdot C_v (T_2 - T_1) $$
En substituant : $$ U_2 \approx 628,386 + 3 \cdot 714 \cdot (493.03 - 293.15) $$
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Calculer le travail pour chaque type de compression :
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Travail pour compression isotherme : $$ W = nRT\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) $$ Calculer avec $T = T_1$ et $R = 0.287 , \text{kJ/kg K}$.
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Travail pour compression adiabatique : $$ W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{n-1} $$
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Travail pour compression polytropique : $$ W = \frac{(P_2V_2 - P_1V_1)}{n-1} $$
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Calculer la chaleur échangée (Q) pour chaque type :
Pour chaque cas, la chaleur échangée peut être trouvée par la première loi de la thermodynamique : $$ Q = \Delta U + W $$
- Variation d'énergie interne :
- Isotherme : $U_2 = 628,386 , \text{J}$
- Adiabatique : $U_2 \approx 2,513,040.8 , \text{J}$
- Polytropique : Calcul à partir de la formule mentionnée ci-dessus.
- Travail :
- Isotherme : À calculer.
- Adiabatique : À calculer.
- Polytropique : À calculer.
- Chaleur échangée :
- Isotherme : $Q = \Delta U + W$
- Adiabatique : $Q = \Delta U + W$
- Polytropique : $Q = \Delta U + W$
More Information
La compression d'un gaz a des implications sur sa température, son énergie interne, et le travail effectué. Le stockage d'énergie sous forme de travail et de chaleur est essentiel dans de nombreux systèmes thermodynamiques.
Tips
- Oublier de convertir les unités : Assurez-vous toujours que toutes les unités sont compatibles, par exemple, en thermodynamique, on utilise généralement les unités SI.
- Confondre les types de compression : Chaque cas a ses propres formules et conditions. Ne pas les appliquer correctement peut mener à des erreurs dans les résultats.
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