Déterminer et représenter graphiquement les fonctions suivantes : a) f(x,y) = √(1 - x² - y²), b) g(x,y) = √(y - x² + 1), c) h(x,y) = xy / √(y - x² + 1)
Understand the Problem
La question demande de déterminer et d'analyser des fonctions données, en se concentrant sur leurs domaines de définition et leurs représentations graphiques.
Answer
Les domaines de définition sont \(D_f = D_g = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1\}\) et \(D_h = \mathbb{R}^2\).
Answer for screen readers
- Domaines de définition de :
- (f(x, y)) : (D_f = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1})
- (g(x, y)) : (D_g = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1})
- (h(x, y)) : (D_h = \mathbb{R}^2)
Steps to Solve
- Analyser la fonction (f(x, y))
La fonction donnée est (f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}).
Pour que cette fonction soit définie, l'expression sous la racine carrée doit être non négative: $$1 - x^2 - y^2 \geq 0$$
Cela signifie que: $$x^2 + y^2 \leq 1$$
- Déterminer le domaine de définition
Le domaine de définition de la fonction (f(x, y)) est donc la région à l'intérieur ou sur le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Cela peut être exprimé mathématiquement comme : $$D_f = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1}$$
- Analyser la fonction (g(x, y))
La fonction (g(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}) est similaire à la fonction (f(x, y)). Pour (g(x, y)), les conditions sont les mêmes. Ainsi, le domaine de définition est identique : $$D_g = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1}$$
- Analyser la fonction (h(x, y))
La fonction (h(x,y) = \frac{xy}{\sqrt{y^2 - x^2 + 1}}) doit aussi être analysée pour son domaine de définition. Ici, le dénominateur doit être différent de zéro, donc: $$y^2 - x^2 + 1 > 0$$
Cela est toujours vrai pour tous les (x) et (y) car (y^2) est toujours positif ou nul, et (y^2 + 1) l'est aussi.
- Conclusion sur les domaines
Pour résumer:
- (D_f = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1})
- (D_g = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1})
- (D_h = \mathbb{R}^2) (tous les (x) et (y)).
- Domaines de définition de :
- (f(x, y)) : (D_f = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1})
- (g(x, y)) : (D_g = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq 1})
- (h(x, y)) : (D_h = \mathbb{R}^2)
More Information
La fonction (f(x, y)) et (g(x, y)) représentent des surfaces au-dessus d'un disque dans le plan (xy), tandis que (h(x, y)) est défini pour toutes les valeurs de (x) et (y) dans (\mathbb{R}).
Tips
- Confondre le domaine de définition en négligeant les conditions imposées par les racines carrées.
- Oublier que le dénominateur doit être positif dans une fraction.
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