Daný čtverec "přeměníme" na obdélník tak, že jednu dvojici protějších stran zkrátíme o čtvrtinu a druhou dvojici stran zkrátíme o 4 cm. Vznikne obdélník, jehož obsah bude o 40 % me... Daný čtverec "přeměníme" na obdélník tak, že jednu dvojici protějších stran zkrátíme o čtvrtinu a druhou dvojici stran zkrátíme o 4 cm. Vznikne obdélník, jehož obsah bude o 40 % menší než obsah původního čtverce. Určete obvod a obsah tohoto obdélníku.
Understand the Problem
Otázka se týká transformace čtverce na obdélník a výpočtu jeho obvodu a obsahu. Počítáme s tím, že některé strany jsou zkráceny a celkový obsah obdélníku je o 40 % menší než původní čtverec. To bude vyžadovat matematické úvahy o plochách a jejich změnách.
Answer
Obvod obdélníku je 62 cm a obsah je 240 cm².
Answer for screen readers
Délka obdélníku je 16 cm, šířka je 15 cm. Obvod je 62 cm a obsah 240 cm².
Steps to Solve
- Určení délky strany čtverce
Označme délku strany čtverce jako $s$. Obsah čtverce je dán vzorcem: $$ A = s^2 $$
- Vypočítání obsahu obdélníku
Obsah obdélníku bude o 40 % menší než obsah čtverce: $$ A_{obdelnik} = A - 0.4A = 0.6A $$ Tedy: $$ A_{obdelnik} = 0.6s^2 $$
- Zkrácení stran obdélníku
Jednu dvojici protějškových stran zkrátíme o $\frac{s}{4}$ a druhou dvojici o 4 cm. Délka a šířka obdélníku tedy budou:
- Délka: $s - 4$
- Šířka: $s - \frac{s}{4} = \frac{3s}{4}$
- Výpočet obsahu obdélníku
Obsah obdélníku lze také spočítat jako: $$ A_{obdelnik} = (s - 4) \cdot \left(\frac{3s}{4}\right) $$
- Rovnice pro obsah obdélníku
Počítáme: $$ (s - 4) \cdot \left(\frac{3s}{4}\right) = 0.6s^2 $$
- Zjednodušení rovnice
Nejprve zjednodušíme levou stranu: $$ \frac{3s^2}{4} - 3s = 0.6s^2 $$
- Převod rovnice na standardní tvar
Převádíme všechny členy na jednu stranu: $$ \frac{3s^2}{4} - 0.6s^2 - 3s = 0 $$ Převod $0.6s^2$ na čtvrtinový základ: $$ 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$ $$ \frac{3s^2}{4} - \frac{3s^2}{5} - 3s = 0 $$
- Zjednodušení celého výrazu
Najdeme společného jmenovatele (20): $$ \frac{15s^2}{20} - \frac{12s^2}{20} - 3s = 0 $$ $$ \frac{3s^2}{20} - 3s = 0 $$
- Faktorizace a řešení pro $s$
Faktorujeme: $$ 3s\left(\frac{s}{20} - 1\right) = 0 $$ Zde máme dvě řešení:
-
$s = 0$ (neplatné)
-
$\frac{s}{20} - 1 = 0 \implies s = 20$
-
Výpočet obvodu a obsahu obdélníku
Délka a šířka obdélníku:
- Délka: $20 - 4 = 16$
- Šířka: $\frac{3 \cdot 20}{4} = 15$
Obvod obdélníku: $$ O = 2 \cdot (délka + šířka) = 2 \cdot (16 + 15) = 62 $$
Obsah obdélníku: $$ A_{obdelnik} = 16 \cdot 15 = 240 $$
Délka obdélníku je 16 cm, šířka je 15 cm. Obvod je 62 cm a obsah 240 cm².
More Information
Změna obsahu obdélníku oproti čtverci ilustruje, jak malé změny rozměrů mohou výrazně ovlivnit celkovou plochu.
Tips
- Nezkrátit strany správně podle zadání.
- Nezahrnout správně změnu objemu do výpočtu obsahu.
- Špatně kalkulovat s procenty.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
