Construye un grupo G tal que Z(G) ≠ 1 y su serie central superior no llegue a G pero no establezca en Z(G). Intenta encontrar un grupo tal que dicha serie tenga más de tres eslabon... Construye un grupo G tal que Z(G) ≠ 1 y su serie central superior no llegue a G pero no establezca en Z(G). Intenta encontrar un grupo tal que dicha serie tenga más de tres eslabones distintos.
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo construir un grupo G que no sea trivial (Z(G) debe ser diferente de 1) y que su serie central superior no estabilice en Z(G). Además, se requiere encontrar un grupo cuya serie tenga más de tres eslabones distintos.
Answer
El grupo es $D_4$.
Answer for screen readers
El grupo que cumple con las condiciones es el grupo dihedral $D_4$.
Steps to Solve
- Definición del grupo G
Para que $G$ cumpla las condiciones requeridas, podemos considerar el grupo simétrico $S_4$, que es el grupo de todas las permutaciones de cuatro elementos. Este grupo tiene orden $24$ y su centro $Z(G)$ no es trivial, es decir, $Z(S_4) \neq 1$.
- Cálculo del centro Z(G)
El centro del grupo simétrico $S_n$, para $n \geq 3$, es trivial para $n=3$, pero para $n=4$, el centro $Z(S_4)$ también es trivial. Para conseguir un grupo apropiado, consideremos el grupo dihedral de orden $8$, $D_4$.
- Cálculo de la serie central superior
Para el grupo dihedral $D_4$, calculamos su serie central superior:
-
$D_4$ tiene la siguiente estructura para su serie central superior:
- $D_4 \geq Z(D_4) \geq {e}$
Donde:
- $Z(D_4) = {e, r^2}$ donde $r$ son las rotaciones.
- Demostración de los eslabones
La serie tiene más de tres eslabones distintos entre $D_4$ y el grupo trivial, siendo:
$$ D_4 > Z(D_4) > {e} $$
Esto conlleva que la serie central superior de $D_4$ no estabiliza en $Z(D_4)$, ni llega a ser igual a $D_4$.
El grupo que cumple con las condiciones es el grupo dihedral $D_4$.
More Information
El grupo dihedral $D_4$ se compone de las rotaciones y reflexiones de un cuadrado y tiene un centro no trivial. Su serie central superior tiene más de tres eslabones, cumpliendo así con la condición del problema.
Tips
- No verificar que el centro del grupo no sea trivial. Al considerar grupos, es importante analizar su estructura central.
- No calcular correctamente la serie central superior. Asegúrate de seguir el orden correcto de los grupos involucrados.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
