Considérons une sphère de rayon R, de centre O et chargée positivement avec une densité de charge ρ. Déterminer, en utilisant le théorème de Gauss, le champ électrique E créé par e... Considérons une sphère de rayon R, de centre O et chargée positivement avec une densité de charge ρ. Déterminer, en utilisant le théorème de Gauss, le champ électrique E créé par en un point M (OM = rc). Read more

Steps to Solve

1. Déterminer la charge totale de la sphère Pour une sphère de rayon $R$ ayant une densité de charge $\rho$, la charge totale $Q$ peut être calculée comme suit : $$ Q = \rho \cdot V $$ où $V$ est le volume de la sphère donné par : $$ V = \frac{4}{3} \pi R^3 $$

2. Choisir une surface de Gauss Pour appliquer le théorème de Gauss, choisissons une sphère concentrique de rayon $r_c$ où $r_c > R$ (c'est-à-dire un point à l'extérieur de la sphère chargée).

3. Calculer le flux électrique à travers la surface de Gauss D'après le théorème de Gauss, le flux électrique $\Phi_E$ à travers la surface de Gauss est donné par : $$ \Phi_E = E \cdot A $$ où $E$ est le champ électrique en tout point de la surface et $A$ est l'aire de la surface de Gauss : $$ A = 4\pi r_c^2 $$

4. Appliquer le théorème de Gauss En appliquant le théorème de Gauss, nous avons : $$ \Phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $$ où $Q_{\text{enc}}$ est la charge totale à l'intérieur de la surface de Gauss. Puisque la charge est uniformément distribuée : $$ Q_{\text{enc}} = Q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 $$

5. Équilibrer les équations Remplaçons les expressions pour obtenir le champ électrique $E$ : $$ E \cdot 4\pi r_c^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{\varepsilon_0} $$

6. Isoler le champ électrique En isolant $E$, nous obtenons : $$ E = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{\varepsilon_0 \cdot 4 \pi r_c^2} $$ Simplifions l'expression : $$ E = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r_c^2} $$