Considérer les fonctions de deux variables réelles f(x,y) = x² + y² - 2x - 2 et g(x,y) = x²/y. Pour chacune de ces fonctions: a) Déterminer son domaine de définition. b) Représente... Considérer les fonctions de deux variables réelles f(x,y) = x² + y² - 2x - 2 et g(x,y) = x²/y. Pour chacune de ces fonctions: a) Déterminer son domaine de définition. b) Représenter ses courbes de niveau -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4.
Understand the Problem
La question demande de considérer deux fonctions à deux variables réelles, d'en déterminer le domaine de définition et de représenter leurs courbes de niveau pour certaines valeurs. Cela implique une analyse des fonctions et des compétences en représentation graphique.
Answer
Domaine de $f(x,y)$ : $D_f = \mathbb{R}^2$ ; Domaine de $g(x,y)$ : $D_g = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (x, 0) \}$. Les courbes de niveau de $f$ sont des cercles ; celles de $g$ sont des paraboles.
Answer for screen readers
a) Domaine de définition de $f(x,y)$ : $D_f = \mathbb{R}^2$
Domaine de définition de $g(x,y)$ : $D_g = \mathbb{R}^2 \setminus { (x, 0) \mid x \in \mathbb{R} }$
b) Les courbes de niveau de $f(x,y)$ sont des cercles. Pour $g(x,y)$, cela correspond à des paraboles.
Steps to Solve
- Déterminer le domaine de définition de f(x,y)
Pour la fonction $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 2$, il n'y a aucune contrainte sur les valeurs de $x$ et $y$. Le domaine de définition est donc l'ensemble des réels: $$ D_f = \mathbb{R}^2 $$
- Déterminer le domaine de définition de g(x,y)
Pour la fonction $g(x,y) = \frac{x^2}{y}$, $y$ ne peut pas être égal à zéro, car cela rend l'expression indéfinie. Donc, le domaine de définition est: $$ D_g = \mathbb{R}^2 \setminus { (x, 0) \mid x \in \mathbb{R} } $$
- Calcul des courbes de niveau pour f(x,y)
Pour déterminer les courbes de niveau, on doit résoudre l'équation: $$ f(x,y) = k $$ où $k$ prend les valeurs -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4. Cela se réécrit comme: $$ x^2 + y^2 - 2x - 2 = k $$
- Résolution de l'équation pour f(x,y)
Par exemple, pour $k = 0$: $$ x^2 + y^2 - 2x - 2 = 0 $$ Cela peut être manipulé pour devenir: $$ (x-1)^2 + y^2 = 3 $$ Ce qui représente un cercle de centre $(1, 0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
- Établir les courbes de niveau pour g(x,y)
Pour g(x,y), les courbes de niveau se définissent par: $$ g(x,y) = k $$ en résolvant: $$ \frac{x^2}{y} = k \implies y = \frac{x^2}{k} $$
- Tracer les courbes pour g(x,y)
On voit que pour $k = 0$, il n'y a pas de courbe, mais pour d'autres valeurs de $k$, les courbes sont des paraboles.
a) Domaine de définition de $f(x,y)$ : $D_f = \mathbb{R}^2$
Domaine de définition de $g(x,y)$ : $D_g = \mathbb{R}^2 \setminus { (x, 0) \mid x \in \mathbb{R} }$
b) Les courbes de niveau de $f(x,y)$ sont des cercles. Pour $g(x,y)$, cela correspond à des paraboles.
More Information
Les courbes de niveau aident à visualiser comment les valeurs de la fonction changent en fonction de $x$ et $y$. Les cercles et paraboles sont des formes géométriques possibles pour les fonctions de ce type.
Tips
- Négliger la contrainte de $y \neq 0$ pour la fonction $g(x,y)$. Il est important de toujours identifier les restrictions d'une fonction.
- Utiliser de manière incorrecte les termes de transformation pour les équations des courbes de niveau, ce qui peut mener à des confusions lors du tracé.
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