Considere um conjunto de 4 números dos quais nenhum deles é zero, dois são positivos e dois são negativos. Sorteamos ao acaso, com reposição, 2 números desse conjunto. Determine a... Considere um conjunto de 4 números dos quais nenhum deles é zero, dois são positivos e dois são negativos. Sorteamos ao acaso, com reposição, 2 números desse conjunto. Determine a probabilidade de: (a) Um deles ser negativo. (b) O quociente ser negativo. (c) Os dois números terem o mesmo sinal.
Understand the Problem
A questão pede para calcular diferentes probabilidades ao sortear dois números de um conjunto de quatro números, sendo dois positivos e dois negativos. Precisamos determinar a probabilidade de um número ser negativo, a probabilidade do quociente ser negativo e a probabilidade de ambos os números terem o mesmo sinal.
Answer
- $P(\text{negativo}) = \frac{1}{2}, P(\text{quociente negativo}) = \frac{2}{3}, P(\text{mesmo sinal}) = \frac{1}{3}$
Answer for screen readers
- Probabilidade de um número ser negativo: $P(\text{negativo}) = \frac{1}{2}$
- Probabilidade do quociente ser negativo: $P(\text{quociente negativo}) = \frac{2}{3}$
- Probabilidade de ambos os números terem o mesmo sinal: $P(\text{mesmo sinal}) = \frac{1}{3}$
Steps to Solve
- Probabilidade de um número ser negativo
Para calcular a probabilidade de um número ser negativo, temos 2 números negativos (por exemplo, -1 e -2) em um total de 4 números (por exemplo, -1, -2, 1, 2). A probabilidade é dada pela fórmula:
$$ P(\text{negativo}) = \frac{\text{números negativos}}{\text{total de números}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
- Probabilidade do quociente ser negativo
Para que o quociente de dois números seja negativo, precisamos de um número positivo e um negativo. As combinações possíveis são as seguintes:
- (1, -1)
- (1, -2)
- (2, -1)
- (2, -2)
Existem 2 números positivos e 2 números negativos, então as combinações de número positivo e número negativo são:
$$ P(\text{quociente negativo}) = \frac{\text{combinações positivas e negativas}}{\text{total de combinações}} = \frac{2 \times 2}{\binom{4}{2}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$
- Probabilidade de ambos os números terem o mesmo sinal
Para que ambos os números sorteados tenham o mesmo sinal, temos duas situações: ambos positivos ou ambos negativos.
- Para números positivos: há 2 positivos, então as combinações são:
$$ P(\text{ambos positivos}) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}} = \frac{1}{6} $$
- Para números negativos: da mesma forma, há 2 negativos, então:
$$ P(\text{ambos negativos}) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{4}{2}} = \frac{1}{6} $$
Somando ambas as probabilidades, temos:
$$ P(\text{mesmo sinal}) = P(\text{ambos positivos}) + P(\text{ambos negativos}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} $$
- Probabilidade de um número ser negativo: $P(\text{negativo}) = \frac{1}{2}$
- Probabilidade do quociente ser negativo: $P(\text{quociente negativo}) = \frac{2}{3}$
- Probabilidade de ambos os números terem o mesmo sinal: $P(\text{mesmo sinal}) = \frac{1}{3}$
More Information
As probabilidades calculadas mostram a relação entre números positivos e negativos em um pequeno conjunto. Isso é um exemplo interessante de como a teoria das probabilidades pode ser aplicada em situações reais, como jogos de sorte ou simulações.
Tips
- Errar ao contar as combinações possíveis. É importante avaliar todas as combinações (por exemplo, ao calcular o quociente negativo).
- Não considerar todas as situações necessárias ao somar probabilidades, como no caso de dois números do mesmo sinal.
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