Berechnen Sie ||x||_1, ||x||_2, ||x||^2_2, ||x||^2_3, wobei x = (1, -3, 2).
Understand the Problem
Die Frage verlangt die Berechnung der verschiedenen Normen eines Vektors x, der gegeben ist. Es wird nach den 1-Norm, der 2-Norm, der quadrierten 2-Norm und der 3-Norm gefragt.
Answer
1-Norm: $6$, 2-Norm: $\sqrt{14}$, quadrierte 2-Norm: $14$, 3-Norm: $6^{\frac{1}{3}}$
Answer for screen readers
- 1-Norm: $6$
- 2-Norm: $\sqrt{14}$
- quadrierte 2-Norm: $14$
- 3-Norm: $6^{\frac{1}{3}}$
Steps to Solve
- Berechnung der 1-Norm
Die 1-Norm eines Vektors wird als die Summe der Beträge seiner Komponenten definiert.
Die 1-Norm für den Vektor $x = \begin{pmatrix} 1 \ -3 \ 2 \end{pmatrix}$ ist: $$ | \mathbf{x} |_1 = |1| + |-3| + |2| = 1 + 3 + 2 = 6 $$
- Berechnung der 2-Norm
Die 2-Norm, auch als euklidische Norm bekannt, wird durch die Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Komponenten definiert.
Die 2-Norm für den gegebenen Vektor ist: $$ | \mathbf{x} |_2 = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} $$
- Berechnung der quadrierten 2-Norm
Die quadrierte 2-Norm ist einfach die 2-Norm zum Quadrat.
Daher ist: $$ | \mathbf{x} |_2^2 = 14 $$
- Berechnung der 3-Norm
Die 3-Norm wird als die kubische Wurzel der Summe der Beträge der Komponenten hoch 3 definiert.
Für den gegebenen Vektor ist die 3-Norm: $$ | \mathbf{x} |_3 = \left( |1|^3 + |-3|^3 + |2|^3 \right)^{\frac{1}{3}} = \left( 1 + 27 + 8 \right)^{\frac{1}{3}} = \left( 36 \right)^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{1}{3}} $$
- 1-Norm: $6$
- 2-Norm: $\sqrt{14}$
- quadrierte 2-Norm: $14$
- 3-Norm: $6^{\frac{1}{3}}$
More Information
Die verschiedenen Normen eines Vektors sind wichtige Konzepte in der Mathematik und Physik, insbesondere in der linearen Algebra. Sie geben unterschiedliche Maße für die Größe eines Vektors an. Die 1-Norm misst die Gesamtsumme der Beträge, während die 2-Norm eine geometrische Länge darstellt.
Tips
- Verwechslung der Normen: Stellen Sie sicher, dass Sie die richtige Formel für die jeweilige Norm verwenden.
- Vernachlässigung der Beträge: Denken Sie daran, die Beträge der Komponenten zu verwenden, besonders bei der 1-Norm und der 3-Norm.
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