أوجد حجم عينة من مجتمع قدره 300 حالة، ومستوى ثقة 90%، وخطأ معيارى 5٪ (قيمة Z عند مستوى ثقة 90%).

Steps to Solve

1. تحديد المعلومات المعطاة
   لدينا مجتمع قدره 300 حالة.
   مستوى الثقة المطلوب هو 90%، مما يعني أن قيمة Z ستحتاج إلى حسابها.
   نسبة الخطأ المعياري المطلوب هي 5%.

2. إيجاد قيمة Z عند مستوى الثقة 90%
   لمستوى ثقة قدره 90%، نستخدم جدول التوزيع الطبيعي القياسي لإيجاد قيمة Z المرتبطة به، والتي تكون:
   $$ Z \approx 1.645 $$

3. حساب حجم العينة
   يمكن استخدام الصيغة لحجم العينة $n$:
   $$ n = \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1 - p)}{E^2} $$
   حيث:

• $p$ هو النسبة المتوقعة (نأخذها كـ 0.5 إذا لم تكن معروفة)
• $E$ هو الخطأ المعياري (0.05)

وبما أن عدد الأفراد في المجتمع هو 300، يجب تعديل حجم العينة باستخدام صيغة التعويض:
$$ n_{adj} = \frac{n}{1 + \frac{(n - 1)}{N}} $$
حيث $N$ هو حجم المجتمع.

4. حساب حجم العينة الأولي
   نبدأ بحساب حجم العينة الأولي:
   $$ n = \frac{(1.645)^2 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5)}{(0.05)^2} $$
   حسابًا يجعل:
   $$ n \approx \frac{(2.706)^2 \cdot 0.25}{0.0025} $$
   $$ n \approx \frac{0.6765}{0.0025} $$
   $$ n \approx 270.6 $$
   نقربها إلى 271.

5. تحسين حجم العينة لعدد الأفراد في المجتمع
   الآن، نستخدم الصيغة المعدلة لحساب:
   $$ n_{adj} = \frac{271}{1 + \frac{270}{300}} $$
   $$ n_{adj} \approx \frac{271}{1 + 0.9} $$
   $$ n_{adj} \approx \frac{271}{1.9} \approx 142.63 $$
   نقربها إلى 143.