Ange en formel som beskriver talföljden. Vilket är tal nummer 100?
Understand the Problem
Frågan ber om att identifiera en formel för en aritmetisk talföljd och att ta reda på vilket tal som är nummer 100 i den talföljden. Detta involverar att förstå mönstret i talföljden och använda det för att skriva en generell formel.
Answer
$5051$
Answer for screen readers
Den allmänna formeln för talföljden är $y = \frac{1}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1$.
För $n = 100$ är $y = \frac{1}{2}(100^2) + \frac{5}{2}(100) + 1 = 5051$.
Steps to Solve
- Identifiera mönstret i talföljden
Från tabellen kan vi se följande relationer:
- När $n = 1$, $y = 3$
- När $n = 2$, $y = 4$
- När $n = 3$, $y = 7$
- När $n = 4$, $y = 12$
Vi kan observera att talföljden $y$ ökar med en konstant skillnad utifrån de angivna värdena: 1 (3 till 4), 3 (4 till 7), och 5 (7 till 12).
- Beräkna differensen och identifiera formeln
Mönstret är inte direkt linjärt, så vi bör boka in skillnaderna mellan varje tal:
- Skillnaden mellan 4 och 3 är 1
- Skillnaden mellan 7 och 4 är 3
- Skillnaden mellan 12 och 7 är 5
Skillnaderna (1, 3, 5) har också ett mönster; de är sequentialt ökar med 2. Detta tyder på att talföljden är kvadratisk.
- Skriva den allmänna formeln
Från mönstret kan vi föreslå en generell formel för en aritmetisk talföljd med hjälp av $n$:
Vi kan använda formeln för en kvadratisk talföljd: $$ y = an^2 + bn + c $$
Där vi har:
- $a$ är koefficienten för $n^2$,
- $b$ är koefficienten för $n$,
- $c$ är konstanten.
Genom att använda dessa datapunkter for att lösa för $a$, $b$, och $c$, får vi fram formeln för $y$.
- Beräkna tal nummer 100
En gång när vi har formeln, kan vi räkna ut $ y $ när $ n = 100 $ genom att bara sätta in 100 i vår formel.
Den allmänna formeln för talföljden är $y = \frac{1}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1$.
För $n = 100$ är $y = \frac{1}{2}(100^2) + \frac{5}{2}(100) + 1 = 5051$.
More Information
Aritmetiska talföljder har linjära eller kvadratiska mönster, och den här talföljden är en kvadratisk talföljd. Detta innebär att varje nästa tal beror på kvadraten av indexet ($n$).
Tips
- Att anta att talföljden är linjär när den i själva verket följer ett kvadratiskt mönster.
- Att inte kontrollera skillnaderna mellan talen noggrant.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
