احسب حدود المتتاليات والتعبيرات المعطاة في التمرين.

Steps to Solve

1. حساب حد المتتالية ( u_n ) نبدأ بإيجاد حدود المتتالية ( u_n ) من خلال التعريف المعطى. لدينا: $$ u_n = \sqrt{\frac{u_{n-1}}{e}} $$

لنحسب بعض الحدود الأولية:

• ( u_0 = e^2 )
• ( u_1 = \sqrt{\frac{e^2}{e}} = \sqrt{e} )
• ( u_2 = \sqrt{\frac{\sqrt{e}}{e}} = e^{1/4} )

بملاحظة النمط، نلاحظ أن: $$ u_n = e^{\frac{2}{2^n}} $$

2. حساب حد ( v_n ) من التعريف المعطى للمتتالية ( v_n ): $$ v_n = \frac{1}{2} \ln u_n + \frac{1}{2} $$

بالتعويض عن ( u_n ): $$ v_n = \frac{1}{2} \ln(e^{\frac{2}{2^n}}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2^n} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2} $$

3. حساب حد ( S_n ) حيث ( S_n = v_0 + v_1 + ... + v_n ):

باستخدام القيم المستنتجة لـ ( v_n ): $$ S_n = \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{2^{k+1}} + \frac{1}{2} \right) $$

هذا يمكن كتابته كالتالي: $$ S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{k+1}} + \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2} $$ حيث أن الحد الأول هو متتالية هندسية، ونستطيع استخدام صيغة مجموع المتتالية الهندسية لحسابها.

4. حساب حد ( p_n ) حيث ( p_n = u_0 \times u_1 \times ... \times u_n ):

بالتعويض عن الحدود: $$ p_n = e^2 \times \sqrt{e} \times ... \times e^{\frac{2}{2^n}} $$

نستخدم خاصية الضرب للأسس للحصول على: $$ p_n = e^{\sum_{k=0}^{n} \frac{2}{2^k}} = e^{2(1 - \frac{1}{2^{n+1}})} $$